Firebase onAuthStateChanged() пропускает код

Любой код, которому требуется состояние входа пользователя, должен находиться внутри обратного вызова onAuthStateChanged. Вы уже сделали это, так что вы на полпути.

Любой код, который должен выполняться после успешной записи данных в базу данных, должен быть внутри обратного вызова then(). Так:

firebase.auth().onAuthStateChanged(function(user) {

    //User is signed in.
    if (user) {
        //Create the Users document in the Firestore Database.
        firestore.collection("Users").doc(email).set({
            UserEmail: email,
            UserRole: role
        }).then(function() {
            console.info("Document successfully written!");

            //Redirect user to the dashboard for their role.
            if (role === "Customer") window.location.replace("customer.html");
            else if (role === "Manager") window.location.replace("manager.html");
            else if (role === "Deliverer") window.location.replace("deliverer.html");
            else console.info("The value of role is not an accepted value: " + role + ".");
            else console.info("The value of role is not an accepted value: " + role + ".");
        }).catch(function(error) {
            console.error("Error writing document: " + error);
        });    
    }

});