Firefox не хранит файлы cookie, отправленные через несколько доменов, даже если разрешены все CORS

У меня проблема с Firefox, пока Chrome работает нормально. Вот такая ситуация:

• Website1.com возвращает html-страницу в SSL.
• Эта страница делает запрос к Website2.com по SSL либо через тег img, либо через XMLHttpRequest (та же проблема).
• Website2.com возвращает файл cookie, который будет установлен для себя
• Firefox игнорирует этот файл cookie. Он никогда не сохраняется, даже если отображается в консоли.
• Консоль ни на что не жалуется.

Клиент отправляет:

Origin: https://website1.com

Сервер возвращает:

Access-Control-Allow-Credentials: true
Access-Control-Allow-Headers: *
Access-Control-Allow-Methods: *
Access-Control-Allow-Origin: https://website1.com
Access-Control-Expose-Headers: *
Set-Cookie: ...

Что еще мне не хватает в CORS?

Спасибо!