Функция друга больше не может получить доступ к закрытым членам данных класса после того, как класс инкапсулирован в пространство имен

Когда вы объявляете operator << как друг для Circle, он становится членом самого внутреннего включающего пространства имен Circle. Это означает, что когда вы помещаете Circle в пространство имен my_name_space, operator << также становится членом пространства имен my_name_space. Определение operator<< не совпадает с этим, оно определяет operator<< в глобальном масштабе.

A name first declared in a friend declaration within class or class template X becomes a member of the innermost enclosing namespace of X

Вы можете переместить определение operator<< в пространство имен my_name_space:

namespace my_name_space {
    std::ostream& operator << (std::ostream &os, const Circle &c) {
        ...
    }
}

Или, если вы все еще хотите сохранить operator<< в глобальном масштабе:

// delcaration
std::ostream& operator << (std::ostream &os, const my_name_space::Circle &c);
class my_name_space::Circle {
    ...
    friend std::ostream& ::operator << (std::ostream &os, const Circle &c);
    //                   ~~
};
// definition
std::ostream& operator << (std::ostream &os, const my_name_space::Circle &c) {
    ...
}