Использовать звездочку * вместо года в объекте с датами?

Этот код может сделать всю работу за вас:

gon["holiday"]= [...Array(10)].map((_,i) => (2015+i) + "-08-28");

Полученные результаты:

(10) ["2015-08-28", "2016-08-28", "2017-08-28", "2018-08-28", "2019-08-28", "2020-08-28", "2021-08-28", "2022-08-28", "2023-08-28", "2024-08-28"]

Вы можете использовать findIndex и предоставить ему функцию, которая будет соответствовать только дню и месяцу вместо года, например:

var gon = {};
gon["holiday"] = "*-08-28,*-09-25".split(",");

function pad(num) { return ("0" + num).slice(-2); }
function formatDate(date) { var d = new Date(date), dArr = [d.getFullYear(), pad(d.getMonth() + 1), pad(d.getDate())];return dArr.join('-');}

function calculateDays(first,last) {
  var aDay = 24 * 60 * 60 * 1000,
  daysDiff = parseInt((last.getTime()-first.getTime())/aDay,10);

  if (daysDiff>0) {
    for (var i = first.getTime(), lst = last.getTime(); i <= lst; i += aDay) {
      var d = new Date(i);
      console.info(d.getDay());
      if (d.getDay() == 6 || d.getDay() == 0 // weekend
      || gon.holiday.findIndex((h)=>formatDate(d).replace(/[^-]+-/, '') == h.replace(/[^-]+-/, '')) != -1) {
          daysDiff--;
      }
    }
  }
  return daysDiff;
}

Я использую регулярное выражение для удаления года, оно удаляет первое вхождение тире и любые символы перед ним.

У вас может быть массив праздников с фиксированными годовщинами в формате MM-DD:

var fixedHols = ['08-28','09-25'];

другой для тех, кто движется более или менее беспорядочно, например, пасха, рамадан, дивали:

var movingHols = ['YYYY-MM-DD',...]

а другой - для праздников, основанных на правилах, который создается для данного года, например, первый понедельник мая или вторник, следующий за первым понедельником ноября, или что-то еще, а затем проверяет даты по ним, например

function isHoliday(date) {
  let z = n => (n<10?'0':'')+n;
  let fixedHols = ['08-28','09-25'];
  let ymd = formatDate(date);
  let md  = ymd.slice(-5);
  let movingHols = [ /* dates as YYY-MM-DD */ ];
  let rulesHols  = [ /* generate YYY-MM-DD for date.getFullYear() */ ];

  // If date is in any array return true, otherwise return false
  return [fixedHols, movingHols, rulesHols].some((hols, i) => hols.includes(i? ymd : md));
}

function formatDate(d) {
  var z = n => (n<10?'0':'')+n;
  return d.getFullYear()+'-'+z(d.getMonth()+1)+'-'+z(d.getDate());
}

[new Date(2018,7,27), // 27 Aug
 new Date(2018,7,28), // 28 Aug
 new Date(2018,7,29), // 29 Aug
 new Date(2021,7,28), // 28 Aug
 new Date(2018,8,25), // 25 Sep
 new Date(2018,8,26)] // 26 Sep
   .forEach(d => 
   console.info(`Is ${formatDate(d)} a holiday? ${isHoliday(d)?'Yes':'No'}`)
);