Изменение даты ISO на короткую дату JavaScript

Вы можете использовать библиотеку MomentJS, чтобы упростить задачу:

Включите библиотеку:

<script src = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/moment.js/2.14.1/moment.min.js"></script>
document.getElementById("pM1").innerHTML = moment(date1).format('DD/MM/YYYY');
document.getElementById("pM2").innerHTML = moment(date2).format('DD/MM/YYYY');

а в остальном:

document.getElementById("pW1").innerHTML = moment(date1).format('DD/MM/YYYY');
document.getElementById("pW2").innerHTML = moment(date2).add(1, 'week').format('DD/MM/YYYY');

Вместо document.getElementById("pM1").innerHTML = date1; вы должны сначала построить строку с методами, предоставляемыми объектом даты (getFullYear, getDate, getMonth; см. документ). Затем вы можете назначить строку для innerHtml.

Если вы можете использовать moment.js, тогда ваш код, который вы назначаете своему innerHtml, - date1 = moment(dateSelected).format('DD/MM/YYYY')

Также я бы порекомендовал способ Луки:

As for converting the Dates, I would use Date.prototype.toLocaleDateString() passing "en-US"

который будет смотреть на ваш код:

dateSelected.toLocaleDateString('en-US')

Во-первых, вы устанавливаете входное значение на текущую дату прямо здесь

var dateSelected = document.getElementById('datePicker').valueAsDate = new Date();

не делайте этого, это в первую очередь противоречит цели наличия селектора.

Что касается преобразования дат, я бы использовал Date.prototype.toLocaleDateString(), передав "en-US" в качестве локали:

console.info((new Date()).toLocaleDateString('en-US')); // format MM/DD/YYY

Я также исправил, как вы устанавливаете новые даты, теперь это занимает одну дату и добавляет либо один и два месяца, либо одну и к неделям вместо none, и один месяц, и none, и одну неделю ;-)

function submit() {
  var type = document.getElementById("selectType").value;
  var dateSelected = document.getElementById('datePicker').valueAsDate;

  if (type === "Months") {
    document.getElementById("pWeeks").className = "hidden";
    document.getElementById("pMonths").className = "";

    var date1 = dateSelected;

    var datePlusOne = new Date(date1);
    datePlusOne.setMonth(date1.getMonth() + 1);
    
    var datePlusTwo = new Date(date1);
    datePlusTwo.setMonth(date1.getMonth() + 2);

    document.getElementById("pM1").innerHTML = datePlusOne.toLocaleDateString('en-US');

    document.getElementById("pM2").innerHTML = datePlusTwo.toLocaleDateString('en-US');

  } else {
    document.getElementById("pWeeks").className = "";
    document.getElementById("pMonths").className = "hidden";

    var date1 = dateSelected;

    var datePlusOne = new Date(date1);
    datePlusOne.setDate(date1.getDate() + 7);
    
    var datePlusTwo = new Date(date1);
    datePlusTwo.setDate(date1.getDate() + 14);

    document.getElementById("pW1").innerHTML = datePlusOne.toLocaleDateString('en-US');

    document.getElementById("pW2").innerHTML = datePlusTwo.toLocaleDateString('en-US');
  }
}

.hidden {
  display: none;
}

<input type = "date" id = "datePicker"><br>
<select id = "selectType">
  <option value = "Months">Months</option>
  <option value = "Weeks">Weeks</option>
</select><br>
<button id = "submit" onclick = "submit()">Submit</button>
<div id = "pMonths" class = "">
  <p id = "pM1"></p>
  <p id = "pM2"></p>
</div>
<div id = "pWeeks" class = "">
  <p id = "pW1"></p>
  <p id = "pW2"></p>
</div>