Как добавить user_id в форму создания

public function store(ArticleRequest $request)
{
    Auth::user();
    $article =  new Article();
    $article -> title=$request->get('title');
    $article -> body=$request->get('body');

$article ->user_id=$request->get('user_id'); // add this line

    $article->save();

    return redirect()->route('articles.index');
}

Вы получаете пользователя в

$user = Auth::user();

используйте этот идентификатор

$article -> user_id = $user->id;

public function store(ArticleRequest $request)
{
    $user = Auth::user();
    $article =  new Article();
    $article -> title=$request->get('title');
    $article -> body=$request->get('body');
    $article -> user_id = $user->id;


    $article->save();

    return redirect()->route('articles.index');
}

Или же

иначе вы можете получить user_id в почтовом запросе из формы (для этого вы можете использовать скрытое поле для user_id в своей форме) и просто передать его

$article -> user_id=$request->get('user_id');

Вы можете получить текущий идентификатор пользователя, вошедшего в систему, из процедуры аутентификации пользователя в магазине.

public function store(ArticleRequest $request)
{
    Auth::user();
    $article =  new Article();
    $article -> user_id=Auth::user()->id;
    $article -> title=$request->get('title');
    $article -> body=$request->get('body');

    $article->save();

    return redirect()->route('articles.index');
}

Вы можете отправить идентификатор пользователя вместе с другими данными публикации, как это делали другие ответы. Но раз уж вы изучаете, как работают красноречивые отношения, почему бы не использовать их для сохранения модели статьи.

Создайте взаимосвязь статей внутри модели User:

<?php

namespace App;

use Illuminate\Database\Eloquent\Model;

class User extends Model
{  
   .........
   .........

   // Since user can have many articles, then i assumed you need
   // hasMany relationship here, otherwise please change accordingly.
   public function articles()
   {
     return $this->hasMany(Article::class);
   }

} 

И в вашем контроллере (он автоматически добавит внешний ключ к модели Article):

public function store(ArticleRequest $request)
{

  $user = Auth::user();

  $user->articles()->create($request->only(
     'title',
     'body'
  ));

  return redirect()->route('articles.index');
}

И, наконец, удалите поле ввода user_id из формы (больше не нужно, так как статья будет сохранена отношениями аутентифицированной модели User):

<!-- remove this -->
<input type = "hidden" name = "user_id" value = "{{ Auth::user()->id }}">