Как мне исправить мою игру «Монти Пайтон» (C#), чтобы спрятать приз за случайной дверью и сделать так, чтобы обнаруженная дверь была случайной, а не дверь с призом?

Первая проблема, которую я вижу в вашем коде, приводит к тому, что он выдает исключение и вообще не работает:

Convert.ToInt32(new Random());

new Random() создаёт новый объект типа Random. Это класс генератора случайных чисел, его нельзя преобразовать в целое число.

Отвечая на ваш первый вопрос: как можно спрятать приз за случайной дверью?

Вместо того, чтобы вручную добавлять «Ничего» в позиции 1 и 3 и «Автомобиль» в позиции 2, как вы делаете здесь:

Door.Add(1, "Nothing");
Door.Add(2, "Car");
Door.Add(3, "Nothing");

Вам понадобится использовать генератор случайных чисел (который вы создали с помощью Random rng = new Random();), чтобы случайным образом определить, за какой дверью пройдет приз. Предположим, вы используете три двери, что является классическим количеством дверей «проблемы Монти Холла», вот что я бы сделал. Возможно, это не самый эффективный способ сделать это, но я стараюсь держать его на начальном уровне.

// instantiate your doors dictionary
// and random number generator
Dictionary<int, string> doors = new Dictionary<int, string>();
Random rng = new Random();

int totalNumberOfDoors = 3;

// use your random number generator to generate a number
// between 1 (inclusive) and 4 (exclusive)
// whatever number it generates, that's what door the prize is behind
int prizeBehindDoor = rng.Next(1, totalNumberOfDoors + 1);

// fill your doors dictionary now
// I'm using a plain for loop b/c it's a basic concept
// it starts at 1 because your doors are numbered "1", "2", "3" and not "0", "1", and "2"
for (int i = 1; i <= totalNumberOfDoors; i++)
{
    // if `i` is the door the prize is behind, add "Car"
    if (i == prizeBehindDoor)
    {
        doors.Add(i, "Car");
    }
    // otherwise, add "Nothing"
    else
    {
        doors.Add(i, "Nothing");
    }
}

Теперь в вашем словаре дверей в случайном месте есть слово «Автомобиль», а в двух других местах — «Ничего».

Отвечая на ваш второй вопрос, как можно сделать так, чтобы открытая дверь была случайной, а призовая - нет?

Я предполагаю, что вы еще не используете LINQ, поэтому я дам вам решение, не использующее LINQ. И опять же, есть более чистые и оптимизированные способы сделать это, но я позволю вам разобраться в этом самостоятельно. Мой ответ скорее направлен на то, чтобы указать вам правильное концептуальное направление.

// the prize could be behind any of the 3 doors,
// so you can't JUST randomly generate a number between 1 and 3 again
// because it might pick the one with the prize

// so let's assign the door numbers that AREN'T the prize to a list
List<int> nonPrizeDoors = new List<int>();

// loop thru the keys of your doors dictionary, and only add items that are not the prize
// the "keys" of the dictionary are your door numbers (1, 2, and 3)
// there's definitely other ways of doing this
foreach (int key in doors.Keys)
{
    // only add this key to "nonPrizeDoors" if it's NOT the prize
    if (key != prizeBehindDoor)
    {
        nonPrizeDoors.Add(key);
    }
}
// now your "nonPrizeDoors" list contains all the door numbers that are not prize doors

// now you want to use your random number generator to randomly pick one of those
// you're picking an array/list INDEX here
// so you want to generate a number between 0 (inclusive) and the number of items in the list (exclusive)
int randomIndex = rng.Next(0, nonPrizeDoors.Count);

// remember that was just the INDEX,
// saying which of the (two) items in the Keys list you're going to choose
// now you want to get the randomly-chosen Key (door number)
int chosenDoorNumber = nonPrizeDoors[randomIndex];

// now you can get that item from the doors dictionary, and do whatever you need with it
string chosenDoor = doors[chosenDoorNumber];    // will be "Nothing"

На этом этапе вы можете делать все, что захотите, с помощью chosenDoorNumber и chosenDoor. Отобразить его пользователю и т. д.