Как мне создать оператор запроса для функции фильтра поиска Laravel?

Вы должны добавить отношение user к модели друга по переписке.

class Penpal extends Model {
    ...

    public function user()
    {
        return $this->belongsTo(User::class);
    }

    ...
}

Тогда вы можете использовать whereHas красноречивый метод:

public function index (Request $request){
    //query builder
    $query =  $this->penpalModel->query();

    //user fields
    if (
        $request->name || 
        $request->ageMin ||
        $request->ageMax ||
        ($request->gender && $request->gender !== 'all') ||
        ($request->country && $request->country !== 'all')
    ){
        $query->whereHas('user', function($query) use ($request){
            if ($request->name){
                $query->where('name', 'like', '%' . $request->name . '%');
            }

            if ($request->gender && $request->gender !== 'all'){
                $query->where('gender', $request->gender);
            }

            if ($request->country && $request->country !== 'all'){
                $query->where('country', $request->country);
            }

            if ($request->ageMin){
                $query->where('age', '>', floor($request->ageMin));
            }

            if ($request->ageMax){
                $query->where('age', '<', floor($request->ageMax));
            }
        })
    }

    //goal
    if ($request->goal && $request->goal !== 'all') {
        $query->where('goal_id', $request->goal);
    }

    $penpals = $query
        ->with('user')
        ->latest()
        ->paginate(12);

    return view('penpal.index')->with([
        'penpals'       => $penpals,
        'penpalsCount'  => $penpals->count() //use $query->count() to get count of all results in db, not only in paginator collection
    ]);
}

К сожалению, это решение не является 100% копией вашего кода/идеи, потому что оно теряет выбор, но фильтрация будет работать правильно, и вы можете получить доступ к пользователю каждого друга по переписке следующим образом:

$penpal->user->name //in php

penpal.user.name //in js