Для доступа к массиву ключ должен быть в кавычках, например, ['key']. Кроме того, вы можете обернуть {} вокруг переменной, чтобы вывести ее внутри строки.

// First query you do
$checkUser = $conn->query("SELECT * FROM tbl_user WHERE id = '{$_SESSION['id']}'");

// Second query you do
$conn->query("UPDATE tbl_user SET password = '{$_POST['new_password']}' WHERE id = '{$_SESSION['id']}'");

Вам также не хватает типа контента, который вы выводите, и вы должны закодировать свой ответ в json:

header('Content-Type: application/json');
echo json_encode("Update Successfully!");

Более того, чтобы получить доступ к суперпеременной $_SESSION, вы должны сначала использовать session_start() до доступа к переменной.

Кроме того, ни один вопрос не связан, но ключевой момент, который движется дальше, ваши запросы подвержены SQL-инъекция, и вы должны учитывать включение регистрации ошибок.

Прежде всего, я думаю, что в вашем коде отсутствует очень важное утверждение, которым является оператор session_start().

Во-вторых, сеанс id нельзя назвать так, как вы его называете в своем коде, вам нужно добавить кавычки, как этот $_SESSION['id'].

Вам также необходимо добавить кавычки в WHERE clause, чтобы он стал действительным утверждением, например следующим: WHERE id = '$_SESSION['id']'. Опять же, вы неправильно обращаетесь к массиву $_POST, вам нужно добавить кавычки, как этот $_POST['new_password'].

После исправления этих ошибок окончательный код должен выглядеть так:

<?php
session_start(); //Initializing session
     $conn = new mysqli("localhost", "root", "", "mydb");
 if (isset($_POST["btnChange"])) {
        $checkUser = $conn->query("SELECT * FROM tbl_user WHERE id='".$_SESSION['id']."'");
        if ($checkUser->num_rows > 0) {
            $conn->query("UPDATE tbl_user SET password = '".$_POST["new_password"]."' WHERE id='".$_SESSION['id']."'");
            echo "Update Successfully!";
        }
    }
?>

ОБНОВИТЬ

Пожалуйста, воспроизведите код для этого, рекомендуется использовать инструкцию else в случае, если пользователь не существует.

 <?php
 session_start(); //Initializing session
      $conn = new mysqli("localhost", "root", "", "mydb");
  if (isset($_POST["btnChange"])) {
         $checkUser = $conn->query("SELECT * FROM tbl_user WHERE id='".$_SESSION['id']."'") or die(mysqli_error($conn));
         if ($checkUser->num_rows > 0) {
             $conn->query("UPDATE tbl_user SET password = '".$_POST['new_password']."' WHERE id='".$_SESSION['id']."'");
             echo "ID: ".$_SESSION['id'];
         }
         else {
             echo "User doesn't exist.";
             echo "<br>ID: ".$_SESSION['id'];
         }
     }
 ?>