Как определить тип структуры, включая указатели на себя?

Внутри typedef определяемый тип еще не известен, поэтому вам необходимо ввести и использовать тег структуры:

typedef struct Node_tag {
    int data;
    struct Node_tag *next;
    struct Node_tag *prev;
} Node;

Node_tag - это структурный тег из-за того, где он введен (а не из-за части имени «_tag»). Это не тип сам по себе, а только комбинация, поскольку struct Node_tag является типом, который может использоваться для членов структуры. Впоследствии, когда typedef завершен, тип Node был определен. Чтобы уточнить, возможно использование второго typedef как typedef struct Node_tag NodeToo;. Это демонстрирует, что тип struct Node_tag также можно использовать. Вот почему я предпочитаю использовать фрагмент имени "_tag", чтобы было понятно, что используется.

Вы можете использовать предварительное объявление структуры

typedef struct sNode Node; // this is a typedef and a declaration of the struct
struct sNode{
    int data;
    Node *next;
    Node *prev;
};

Таким образом, Node известен (но не определен) в определении вашего struct.

Его можно сжать, как это делает Юннош. Но тогда вам нужно использовать нотацию struct Name внутри вашего объявления.

Таким образом, можно уже использовать имя typedefed, также необходимо предварительное объявление, если у вас есть некоторые циклические зависимости в ваших структурах.

Также можно использовать имя структуры в качестве определения типа:

typedef struct Node Node; 
struct Node{
    int data;
    Node *next;
    Node *prev;
};

Лично я предпочитаю первый стиль, мне он кажется «более понятным», но во втором примере нет ничего плохого, если только компилятор не из достандартной эпохи (до 1989 года).

Как указал Йенс Густедт, первый стиль может быть несовместимым, если он включен в C++.

Так что, возможно, мне стоит изменить свое предпочтение на первое.

Внутри структуры вы действительно должны использовать типы, которые уже известны компилятору. Способ соответствовать этому правилу в вашем случае - используйте тип struct Node * после объявления typedef struct Node. В этом случае, даже если тип struct Node не полностью определен, когда компилятор обнаруживает его внутри структуры, имя известно, и компилятор знает размер указателя (для резервирования в памяти), поэтому у него нет причин жаловаться!
Более того, также принято использовать то же имя для типа, что и после struct: вы можете использовать Node для обоих. Вот мое предлагаемое решение:

typedef struct Node {
    int data;
    struct Node *next;
    struct Node *prev;
} Node;