Как отправить данные в api, имеющий несколько вложенных массивов в React

Вы можете напрямую объявить это как ваш формат json.

let newCustomer = {
  access:this.state.access,
  time:this.state.time,
  Customer: {
    name: ..., // state name from your nested form
    email: ...,  // state email from your nested form
    password: ..., // state password from your nested form
  },
}

        save=(Customer)=>{
            let newCustomer = {
                ...Customer,
                access: this.state.access,
                time: this.state.time,
            }
            return axios.put('api', newCustomer)
            .then(response => {
                console.info(response);
            })
        }

Тогда newCustomer будет похож на Customer, но доступ и время могут отличаться. В бэкэнде вы не можете получить доступ к имени клиента и электронной почте, как к массиву