Как передать значения нескольких флажков с помощью jquery ajax

Вам нужно добавить атрибут имени, чтобы проверить

<input type = "checkbox" class = "checkbox" name = "value-check" value = "11" /><br>

var checkboxvalue = [];
        $.each($("input[name='value-check']:checked"), function(){            
            checkboxvalue.push($(this).val());
        });

Вам нужно установить флажок, который выбран, проблема с вашим кодом в том, что он всегда дает вам значение первого выбранного флажка всегда

var chkArray = [];
	
$(".checkbox:checked").each(function() {
	chkArray.push($(this).val());
});
	
var selected;
selected = chkArray.join(',') ;

console.info(selected)

<script src = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/2.0.2/jquery.min.js"></script>
<div><input type = "checkbox" value = "1" class = "checkbox"> Value 1</div>
    <div><input type = "checkbox" value = "2" class = "checkbox" checked = "checked"> Value 2</div>
    <div><input type = "checkbox" value = "3" class = "checkbox"> Value 3</div>
    <div><input type = "checkbox" value = "4" class = "checkbox"checked = "checked"> Value 4</div>
    <div><input type = "checkbox" value = "5" class = "checkbox"> Value 5</div>

Вам нужно создать массив и заполнить значениями, если флажок установлен.

$(document).ready(function(){
        $('.myform').on('submit', function(e){
            //Stop the form from submitting itself to the server.
            e.preventDefault();
          var values = [];
          $('.checkbox').each(function() {
            if ($(this).is(':checked')) {
              values.push($(this).val());
            }

          });
          console.info(values);
        });
    });

См. Кодепен

ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЭТО

$(document).ready(function(){
   $('.myform').on('submit', function(e){
        e.preventDefault();
        var checkboxvalue =  [];    
        $("input[type=checkbox]:checked").each(function(i){
          checkboxvalue.push( i.value );
        });
      $.ajax({
                type: "POST",
                url: '',
                data: {checkboxvalue: checkboxvalue},
                success: function(data){
                    $('.response').html(data);
                }
            });
        });
    });

PHP

 if ($_SERVER['REQUEST_METHOD'] == "POST") {  
  $value = false;
  /* the check box value in array*/
  print_r($_POST['checkboxvalue']);
  if (isset($_POST['checkboxvalue'])){
     $value = $_POST['checkboxvalue'];
  }      
  exit;
  }