Как получить другой результат с тем же вызовом состояния в React Native?

Не помещайте случайно сгенерированное имя в состояние, а вместо этого вызовите функцию для генерации случайного имени несколько раз в вашей функции render.

В принципе, что-то вроде этого должно помочь:

_getRandomPlanet(){
  var planetItem = this.state.newdiscoverPlanet[Math.floor(Math.random()*this.state.newdiscoverPlanet.length)];
  return planetItem
}

И в вашем JSX:

<Text>{this._getRandomPlanet()}</Text>
<Text>{this._getRandomPlanet()}</Text>
<Text>{this._getRandomPlanet()}</Text>

Прежде всего, если newdiscoverPlanet является константой, она не должна быть в состоянии (константа файла или статический элемент, экземпляр или даже член свойства, но на самом деле это не состояние компонента).

Тогда, насколько я понимаю ваши вопросы, кажется, что вам нужен случайный выбор newDiscoverPlanet вместо одного.

И из того, что я прочитал из комментария, также кажется, что вам нужно импортировать файлы изображений для каждой планеты.

Итак, что насчет:

    import sunpImg from '../img/sunp.png';
    import twopImg from '../img/twop.png';
    import bluepImg from '../img/bluep.png';
    import purplepImg from '../img/purplep.png';
    import bluepurplepImg from '../img/bluepurplep.png';
    import redpImg from '../img/redp.png';
    import orangepImg from '../img/orangep.png';

    const planetsObj = [
        { name:'sunp', img: sunpImg },
        { name:'twop', img: twopImg },
        { name:'bluep', img: bluepImg },
        { name:'purplep', img: purplepImg },
        { name:'bluepurplep', img: bluepurplepImg },
        { name:'redp', img: redpImg },
        { name:'orangep', img: orangepImg },
    ];

    class YouComponent extends Component {

        state = {
            randomPlanets: this.getRandomPlanets()
        }
        getRandomPlanets() {
            // Note: since the randomization relies on random sorting
            // you won't have the same planet twice, if you want a 
            // subset (less planets) just use .slice(numOfItem)
            return [...planetsObj].sort(() => parseInt(Math.random() * 3, 10) - 1);
        }
        updateRandomPlanets() {
            this.setState(() => ({ randomPlanets: this.getRandomPlanets() }));
        }
        render() {
            const { randomPlanets } = this.state;
            // Note: if you randomize during render the renders
            // won't be consistent and the display won't be controllable
            return (
                {randomPlanets.map(planet => (
                    <div>
                        <img src = {planet.img} />
                        <Text>{planet.name}</Text>
                    </div>
                ))}
            );
        }
    }