Как получить правильное имя файла из UIDocumentPicker, didPickDocumentsAt urls: [URL]

URL-адреса - это массив URL-адресов, а не URL-адрес, а не строка

пытаться:

 func documentPicker(_ controller: UIDocumentPickerViewController, didPickDocumentsAt urls: [URL]) {
    if let filename =  urls.first?.lastPathComponent {
        self.pickedFile.append(filename)
        // display picked file in a view
        self.dismiss(animated: true, completion: nil)
    }
}

Никогда не используйте String(describing:) ни для чего, кроме вывода отладки. Ваш код генерирует отладочный вывод массива экземпляров URL. Этот вывод будет примерно таким:

[file:///some/directory/someFileA.ext,file:///some/directory/otherFile.ext]

Конечно, вывод массива будет содержать любое количество выбранных файлов.

Затем вы пытаетесь создать URL-адрес файла из этого отладочного вывода массива экземпляров URL, а затем получаете последний компонент пути. Вот почему вы получаете трейлинг ].

Просто получите доступ к элементу из массива, который вы хотите. Не создавайте новый URL.

if let filename = urls.first?.lastPathComponent {
    self.pickedFile.append(filename)
}

А еще лучше добавить их все:

for url in urls {
    self.pickedFile.append(url.lastPathComponent)
}