Как получить значение от анонимного класса?

Значение для test[0] будет доступно только после щелчка по View. Ваш код этого не ждет. Переместите Toast внутрь ClickListener, и он заработает.

Вы должны поместить Toast внутрь setOnClickListener(), иначе он не увидит изменений на test[].

final String[] test = new String[1];
txt.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
  @Override
  public void onClick(View v) {
      test[0] = "abc";
      Toast.makeText(this, test[0], Toast.LENGTH_SHORT).show();
  }
});

Вы должны изменить свой слушатель, чтобы включить показ всплывающего сообщения внутри метода onClick(), потому что вы хотите, чтобы это значение отображалось при "щелчке". В противном случае значение test0 не обновляется вне этого метода:

final String[] test = new String[1]; txt.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
    @Override
    public void onClick(View v) {
        test[0] = "abc";
        String test0 = test[0];
        Toast.makeText(this, test0, Toast.LENGTH_SHORT).show();
    }
});

Сделайте это изменение

    final String[] test = new String[1];
    txt.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
        @Override
        public void onClick(View v) {
            test[0] = "abc";
            Toast.makeText(this, test[0], Toast.LENGTH_SHORT).show();
        }
    });

Значение test [0] обновляется только после срабатывания события щелчка. Поэтому вам нужно поместить свой код в метод onClick.