Как решить это исключение System.InvalidCastException в WinUI3 при попытке получить обработчик окна?

Поскольку этот код находится в Page(PrincipalPage.xaml.cs), вы передаете Page в GetWindowHandle. Вам нужно пройти Window.

Вы можете сделать это таким образом.

App.xaml.cs

public partial class App : Application
{
    public Window? MainWindow { get; private set; }

    public App()
    {
        this.InitializeComponent();
    }

    protected override void OnLaunched(Microsoft.UI.Xaml.LaunchActivatedEventArgs args)
    {
        MainWindow = new MainWindow();
        MainWindow.Activate();
    }
}

PrincipalPage.xaml.cs

public sealed partial class PrincipalPage: Page
{
    public BlankPage1()
    {
        this.InitializeComponent();
    }

    private async void Select_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
    {
        var task = SelectFile();
        await task;
    }

    public async Task SelectFile()
    {
        var folderPicker = new FolderPicker();

        var mainWindow = (App.Current as App)?.MainWindow;
        var hwnd = WinRT.Interop.WindowNative.GetWindowHandle(mainWindow);

        WinRT.Interop.InitializeWithWindow.Initialize(folderPicker, hwnd);
        folderPicker.FileTypeFilter.Add("*");
        var file = await folderPicker.PickSingleFolderAsync();
        storePath = file.Path;
        DestinationURLTextBox.Text = file.Path;
    }
}