Как создать экземпляр объекта, привязанного к java enum

Создайте конструктор для вашего enum, который соответствует аргументам, которые вы указываете.
Нет модификатора доступа; и private является избыточным.

Типы Enum (Учебные руководства по Java™ > Изучение языка Java > Классы и объекты).

public enum Type {
    TYPE1("type_name_1", new TypeObj1()),
    TYPE2("type_name_2", new TypeObj2());

    final TypeInterface typeObj;
    final String value;
    
    Type(String value, TypeInterface typeObj) {
        this.value = value;
        this.typeObj = typeObj;
    }
}

Да, вы движетесь в правильном направлении.

Вам понадобится конструктор для назначения переданных объектов вашим полям-членам.

Сделайте свои поля-члены final, чтобы предотвратить их переназначение другой ссылке на объект.

public enum Type {
  // Enum objects.
  TYPE1("type_name_1", new TypeObj1()), 
  TYPE2("type_name_2", new TypeObj2());

  // Member fields.
  final TypeInterface typeObj;
  final String value;

  // Constructor.
  Type( final String value , final TypeInterface typeInterface ) {
    this.typeObj = typeInterface ;
    this.value = value ;
  }
}

Совет: Этот вид мыслительного упражнения будет более ясным и продуктивным, если вы придумаете простой, но полуреалистичный сценарий, а не свои аморфные «TypeInterface» и «значение».

public enum Pet {
  // Enum objects.
  FLUFFY( "tuxedo" , new Cat() ), 
  ROVER( "chocolate Lab" , new Dog() );
  
  // Member fields.
  final Animal animal;
  final String description;

  // Constructor.
  Type( final String desc , final Animal animal ) {
    this.animal = animal ;
    this.description = desc ;
  }
}