Как создать клон поля поиска?

Как вариант, я бы предложил создать некоторую функцию или класс, который создает узлы ввода и описания и добавляет их к любому идентификатору контейнера (или классу), который вы ему передаете. В html вам понадобится только элемент с идентификатором rowDiv. Очевидно, вы можете адаптировать его под свои нужды, но это всего лишь идея. Думал примерно так:

// rough example based of your code
class citySearch {
    constructor(parentContainerId) {
        this.searchField;
        this.displayArea;
        this.setStage(parentContainerId);
        this.hookListener();
    }

    setStage(parentContainerId) {
        this.searchField = document.createElement('input');
        this.displayArea = document.createElement('div');
        var parentContainer = document.getElementById(parentContainerId)

        parentContainer.appendChild(this.searchField);
        parentContainer.appendChild(this.displayArea);
    }

    show(data) {
        return "<h2>Current Weather for " + data.name + "," + data.sys.country + "</h2>" +
            "<h3><strong>Wind Speed</strong>: " + data.dt + "</h3>" +
            "<h3><strong>Weather</strong>: <img src='http://openweathermap.org/img/w/" + data.weather[0].icon + ".png'>" + data.weather[0].main + "</h3>" +
            "<h3><strong>Description</strong>: " + data.weather[0].description + "</h3>" +
            "<h3><strong>Temperature</strong>: " + data.main.temp + "&deg;C</h3>" +
            "<h3><strong>Wind Direction</strong>: " + data.wind.deg + "&deg;</h3>";

    }

    hookListener() {
        this.searchField.addEventListener('keypress', this.onClick.bind(this));
    }

    onClick(e) {
        if (e.keyCode === 13) {
            var city = this.searchField.value;
            if (city !== '') {
                fetch('http://api.openweathermap.org/data/2.5/weather?q=' + city + "&units=metric" + "&APPID=bb037310921af67f24ba53f2bad48b1d")
                .then( async(res) => {
                    const data = await res.json();
                    var widget = this.show(data);
                    this.displayArea.innerHTML = widget;
                    this.searchField.value = '';
                })

            } else {
            this.displayArea.innerHTML = "<div class='alert alert-danger text-center'><a href='#' class='close' data-dismiss='alert' aria-label='close'>&times;</a>Field cannot be empty</div>";
            }
        }
    }
}
var firstSearch = new citySearch('rowDiv');
var secondSearch = new citySearch('rowDiv');

HTML

 <div class = "row form-group form-inline" id = "rowDiv"></div>

Вот пример кода, который позволяет использовать 1 базу кода, 2 окна поиска и синхронизировать два окна поиска.

const searchBoxes = () => document.getElementsByClassName('searchbox');

document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {

  Array.from(searchBoxes()).forEach(element => {
    console.info(element.id);
    element.addEventListener('keyup', function(event) {
      let text = event.target.value;
      // This is just a demo
      document.getElementById("searchResult").innerHTML = text;
      // Loop other search boxes
      Array.from(searchBoxes()).forEach(e => {
        if (e.id != event.target.id) e.value = text;
      });

      // ANY CODE HERE TO APPLY SEARCH
    });
  });

});

.searchbox {
  border: 1px solid black;
  background-color: wheat;
}

#searchResult {
  height: 100px;
  width: 100px;
  background-color: yellow;
  font-weight: bold;
}

<div>
  <span>Some Text Here</span>
  <input id = "search1" class = "searchbox" type = "text" />
</div>
<div id = "searchResult">ALL MY PAGE STUFF</div>
<div>
  <span>Some Text Here</span>
  <input id = "search2" class = "searchbox" type = "text" />
</div>