Как установить фон для элемента управления PrimeNg Tree

Вы просто неправильно используете свойство style, вам следует ввести свой CSS в формате json следующим образом (ожидает объект):

[style] = "{'background':'red'}" 

Вы также можете использовать свойство styleClass, чтобы максимально избегать встроенных стилей, хотя, вероятно, цвет фона уже установлен в одном из классов, применяемых к компоненту дерева.