Как выполнить запрос ILIKE к столбцу типа JSONB?

Вы можете сначала сгладить свои данные, используя боковое соединение с jsonb_path_query, а затем применить ILIKE в предложении WHERE по мере необходимости. Вот иллюстрация.
Смотрите демо.

select id, l, l ->> 'product_name' as prod
from the_table,
lateral jsonb_path_query(category_products, '$[*].products[*]') as l; 

Обратите внимание, что ваши образцы данных вообще не действительны в формате JSON.
Не связано, но это было бы намного проще и чище с нормализованным дизайном данных.

Редактировать

Поскольку jsonb_path_query не существует в версиях до PG12, вот альтернатива и новая демо.

select id, l, l ->> 'product_name' as prod
from the_table,
lateral jsonb_array_elements(category_products) as arr_ex,
lateral jsonb_array_elements(arr_ex -> 'products') as l;