Как я могу сохранить выбранную опцию по умолчанию

Когда вы воссоздаете варианты выбора. Вместо keepin var options = ""; сохраните его как var options = "<option disabled selected value>年</option>";

<select id = "f_year" name = "f_year">

</select>

<script>
var start = 1900;
    var end = new Date().getFullYear();
    var options = "<option disabled selected value>年</option>";
    for(var year = start ; year <=end; year++){
        options += "<option>"+ year +　"年" + "</option>";
    }
    document.getElementById("f_year").innerHTML = options;
</script>

По возможности лучше сохранять HTML в HTML…
… Итак, я бы просто добавил ваш options, используя += вместо =.

Смотрите в рабочем фрагменте:

var start = 1900;
var end = new Date().getFullYear();
var options = "";
for (var year = start; year <= end; year++) {
  options += "<option>" + year + 　"年" + "</option>";
}
document.getElementById("f_year").innerHTML += options; // TAKIT: Modified only here!

<select id = "f_year" name = "f_year">
  <option disabled selected value>年</option>
</select>

Надеюсь, поможет.