Как записать, кто редактировал таблицу в моем sql

с самим MySQL вы не можете этого сделать. Единственный пользователь, известный MySql, — это current_user(), который приложение использует для подключения.

вы можете создать триггер, чтобы сохранить этого пользователя, но я считаю, что это не стоит многого

created_by varchar(100);
create trigger table_insert_trig before insert on table for each row begin set new.created_by := current_user(); end; 

Другой вариант — передать current_user из вашего приложения, используя уровень доступа к данным, но это не связано с самим MySql, и это логика приложения.