Как запустить функцию в старом действии при возврате из нового действия?

Вы должны использовать метод ниже, чтобы начать свою деятельность

static final int YOUR_REQUEST_CODE = 1;  // The request code
startActivityForResult(yourIntent, YOUR_REQUEST_CODE);

А затем в действии СТАРЫЙ переопределите метод ниже:

@Override
protected void onActivityResult(int requestCode, int resultCode, Intent data) {
    // Check which request we're responding to
    if (requestCode == YOUR_REQUEST_CODE) {
        // Make sure the request was successful
        if (resultCode == RESULT_OK) {

            // Do something with here.
        }
    }
}

Более подробную информацию можно найти на Официальное руководство разработчика Android