Как заставить игру соединить слово?

Вот более простой способ сделать это

first_word = input('First Word: ')
second_word = input('Second word: ')

joined = ""
for i in range(1, min(len(first_word), len(second_word)) + 1):
    if first_word[-i:] == second_word[:i]:
        joined = first_word[-i:]

if joined:
    print(f"The words can be connected with {joined}")
else:
    print("Words cannot be connected")

Здесь мы перебираем более короткое слово по длине и сравниваем последние 1, 2, 3... буквы из слова 1 с таким же количеством букв в начале слова 2.

Есть несколько указателей с вашим примером, который я хотел привести.

1. Вам не нужно запрашивать длину слов у пользователя, проще определить ее самостоятельно в коде с помощью len('word').
2. Преобразование строк в список также является избыточным, поскольку в Python строки уже представляют собой списки символов и, следовательно, могут быть нарезаны как есть.
3. Вам не нужны два цикла, так как вы всегда сравниваете первые x символов первого слова и вторые x символов из второго слова. Смотрите мой пример.
4. У вас есть индексная переменная i, которую можно свободно использовать в цикле for for i in range...:, вам не нужна дополнительная переменная для переноса, просто чтобы добавить или вычесть 1 в каждом цикле. По той же причине ваш первый цикл будет лучше работать как цикл for, а не как цикл while.

искать букву во втором слове, сравнивая первую букву первого слова и использовать индексацию.

first_word = input('First Word: ')
second_word = input('Second word: ')
index_value = []
for ind, val in enumerate(first_word):
    if val == second_word[0]:
        index_value.append(ind)
if index_value:
    search_word = first_word[index_value[0]:]
    n = len(search_word)
    if search_word == second_word[:n]:
        print(f'the second word can be connected with "{search_word}"')
    else:
        print("the word can't be connected")
else:
    print("the word can't be connected")

>>>> First Word: center
>>>> Second word: terminal
>>>> the second word can be connected with "ter"

Надеюсь это поможет:

first_word = input('First Word: ')
second_word = input('Second word: ')

merge = 0

for i in range(1, min(len(first_word), len(second_word)) + 1):
    if first_word[-i:] == second_word[:i]:
        merge = first_word[-i:]

if merge:
    print("The second word can be connected with", str(merge))
else:
    print("The word can't be connected")