Какой лучший способ написать и ошибиться в Python

Я пишу python в Linux. Я хочу записать вывод и ошибку python в разные файлы, а не выводить их на консоль.

Скажите, есть ли у меня этот файл Python example.py:

print('console output')
print(1/0)

Пробовал по другому. 1. Выполнив следующую команду
python example.py >output 2>log
2. Обновите example.py.

logf = open("./log", "w")
try:
    print('console output')
    print(1/0)
except Exception as e:
    logf.write(str(e)) 

и запустите python example.py >output

Логи разные. 1-й способ:

Traceback (most recent call last):
  File "try.py", line 2, in <module>
    print(1/0)
ZeroDivisionError: division by zero

и для 2-го метода:

division by zero

Итак, я хочу спросить:

1. почему два журнала разные? И как сделать 2-й выход таким же, как 1-й.
2. Какой способ лучше записать ошибку в файлы? Или есть лучший способ сделать это.

Спасибо за помощь с моими вопросами.