Код PHP PDO подключается к базе данных, но не выполняет запросы и не возвращает ошибки

Основная проблема, я считаю, заключается в операторе sql - в нем отсутствует запятая между u_add и u_pass

$reg = $db->prepare('INSERT INTO bakery_users (u_name, u_mail, u_add, u_pass) VALUES (:u_name, :u_mail, :u_add, :u_pass)');

Если вы проверите возвращаемое значение prepare, вы можете разветвить логику в зависимости от ее успеха/неудачи.

        if ( $reg ){
            $reg->bindParam(':u_mail', $username,PDO::PARAM_STR);
            $reg->bindParam(':u_mail', $email,PDO::PARAM_STR);
            $reg->bindParam(':u_add', $address,PDO::PARAM_STR);
            $reg->bindParam(':u_pass', $pass,PDO::PARAM_STR);
            $reg->execute();
            return true;            
        } else {
            exit('error');
        }

У вас также есть параметр с неправильным названием в первом операторе привязки.

$reg->bindParam(':u_mail', $username,PDO::PARAM_STR);

должно быть

$reg->bindParam(':u_name', $username,PDO::PARAM_STR);

Вы можете использовать блок try/catch, чтобы попытаться выявить проблемы конструктивным образом, как показано ниже.

public function reg_user($username, $email, $address, $pwd){
    try{
        $pass = password_hash($pwd, PASSWORD_BCRYPT);
        $check = $this->db->prepare('SELECT * FROM `bakery_users` WHERE `u_mail` = :u_mail');
        if ( !$check )throw new Exception('Failed to prepare SELECT query');

        $check->bindParam(':u_mail', $email, PDO::PARAM_STR);
        $check->execute();
        $count = $check->rowCount();

        if ( $count < 0 ){

            $reg = $db->prepare('INSERT INTO `bakery_users` (`u_name`, `u_mail`, `u_add`, `u_pass` ) VALUES ( :u_name, :u_mail, :u_add, :u_pass )');

            if ( $reg ){
                $reg->bindParam(':u_name', $username,PDO::PARAM_STR);
                $reg->bindParam(':u_mail', $email,PDO::PARAM_STR);
                $reg->bindParam(':u_add', $address,PDO::PARAM_STR);
                $reg->bindParam(':u_pass', $pass,PDO::PARAM_STR);
                $reg->execute();

                return true;            
            } else {
                throw new Exception('Failed to prepare INSERT query')
            }
        } else{
           $db = null;
           return false;
        }
    }catch( Exception $e ){
        exit( sprintf('An error "%s" on line %d of "%s"',$e->getMessage(),$e->getLine(),__METHOD__ ) );
    }
}

Я должен был раньше заметить использование if ( $count < 0 ) ~ это должно быть if ( $count==0 )

public function reg_user( $username=false, $email=false, $address=false, $pwd=false ){
    try{
        if ( !( $username & $email & $address & $pwd ) ) throw new Exception('bad foo');

        $sql='SELECT * FROM `bakery_users` WHERE `u_mail` = :u_mail';
        $stmt = $this->db->prepare( $sql );

        if ( !$stmt ) throw new Exception('Failed to prepare SELECT query');

        $args=array( ':u_mail' => $email );
        $stmt->execute( $args );
        $count = $stmt->rowCount();

        if ( $count == 0 ){
            $sql='INSERT INTO `bakery_users` ( `u_name`, `u_mail`, `u_add`, `u_pass` ) VALUES ( :u_name, :u_mail, :u_add, :u_pass )';
            $stmt = $db->prepare( $sql );
            if ( $stmt ){
                $args=array(
                    ':u_name'   =>  $username,
                    ':u_mail'   =>  $email,
                    ':u_add'    =>  $address,
                    ':u_pass'   =>  password_hash( $pwd, PASSWORD_BCRYPT )
                );
                return $stmt->execute( $args );       
            } else {
                throw new Exception('Failed to prepare INSERT query')
            }
        } else{
           $db = null;
           return false;
        }
    }catch( Exception $e ){
        exit( sprintf( 'An error "%s" on line %d of "%s"', $e->getMessage(), $e->getLine(), __METHOD__ ) );
    }
}

There are no error messages either

потому что вы используете неправильный режим ошибки PDO, вы используете режим по умолчанию, который, iirc, называется PDO::ERRMODE_SILENT

это НАШИ правильный способ создания объекта PDO:

$db = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=testdb;charset=utf8mb4', 'username', 'password', 
array(PDO::ATTR_EMULATE_PREPARES => false, PDO::ATTR_ERRMODE => PDO::ERRMODE_EXCEPTION));

и когда вы создали свой, вы забыли PDO::ATTR_ERRMODE => PDO::ERRMODE_EXCEPTION-часть.