Laravel: выберите студентов, у которых не было оплаты в течение месяца

Я не знаю, какое значение вы передаете здесь.

$today->month

Вместо этого $today->month вы должны указать здесь точный месяц

Пожалуйста, попробуйте это

$indebted = DB::table('students')->where('students.active',1)   
            ->leftJoin('payments', 'students.id', '=', 'payments.user_id')
            ->whereMonth('payments.created_at','=', 06)
            ->get();

Вот идентификаторы студентов, которые произвели платежи в текущем месяце и году.

$payments= DB::table('payments')
            ->whereMonth('created_at',date('m'))
            ->whereYear('created_at', date('Y'))
            ->pluck('user_id')->all();

использовать whereNotIn('id',[идентификаторы студентов, совершивших платежи])

$students = DB::table('students')
            ->whereNotIn('id',$payments)
            ->get();

Вы можете использовать Raw SQL в такой ситуации. Я предполагаю, что вы используете базу данных mysql

$sql=SELECT * from students s LEFT JOIN payments p ON s.id=p.user_id
WHERE s.active=1 AND (p.created_at is NULL or MONTH(MAX(p.created_at) < MONTH(CURRENT_DATE()))  )

$students = DB::connection('mysql')->select( DB::raw(" $sql"));
foreach($students as $aStudent){
     ...
     ....
}

вы можете получить студента, у которого нет платежей в этом месяце

$students = App\student::whereDoesntHave('payments', function (Builder $query) {
      $query->whereMonth('payments.created_at',$today->month);
})->where('active',1)->get();