Mockito не может вводить моки

Вот нет ответа. Я не мог бы дать больше, потому что мне очень жаль видеть, что так много людей используют этот неуклюжий API, полагаясь на отражение, в то время как вы могли бы сделать вещи действительно понятными для читателей класса, явно установив зависимость.

The thing is, my test throws no exceptions, but it doesn't inject my mock object

Неудивительно. Этот способ внедрения макета остается тихим, даже если ни одна инъекция не увенчалась успехом. Из InjectMocks javadoc (выделено не мной!):

Mockito will try to inject mocks only either by constructor injection, setter injection, or property injection in order and as described below. If any of the following strategy fail, then Mockito won't report failure; i.e. you will have to provide dependencies yourself.

Хотя Mockito не сообщает об ошибке, я очень не рекомендую использовать этот API.

Что касается вашей реальной проблемы, посмотрите на это:

@Autowired
@InjectMocks
private IREjercicioDAO rEjercicioDAO;

Вы аннотируете поле как аннотацией Spring, так и Mockito. Вас устраивает порядок их обработки? Они взяты из двух разных библиотек. Я не говорю, что это никогда не сработает (удача и случайность существуют), но вы действительно думаете, что это надежно?

Чтобы выполнить ваше требование, вы можете написать что-то подобное, что делает что-то в два явных шага:
- создание экземпляров объектов: имитация зависимости и внедрение пружинной зависимости
- набор отношений: между фиктивной зависимостью и пружинной зависимостью

@RunWith(SpringJUnit4ClassRunner.class)
@ContextConfiguration(locations = ATest.CONTEXT_CONFIGURATION)
public class REjercicioDAOTest extends ATest {

    @Mock 
    private ICustomFileHandler customFileHandler;

    @Autowired        
    private IREjercicioDAO rEjercicioDAO;

    @Before
    public void before () {    
        MockitoAnnotations.initMocks(this);
        // Set explicitly the fileHandler dependency
        rEjercicioDAO.setFileHandler(customFileHandler);         
    }
 }

Вы пытаетесь смешать ИТ с модульным тестом.

1) Если вы используете Spring Boot:

@MockBean
private ICustomFileHandler customFileHandler;

@Autowired
private IREjercicioDAO rEjercicioDAO;

Вот и все..

2) Spring Boot не используется:

public class TestConfig{

    @Bean
    @Primary
    public ICustomFileHandler customFileHandler(){
       return Mockito.mock(ICustomFileHandler.class);
    }

@RunWith(SpringJUnit4ClassRunner.class)
@ContextConfiguration(locations = ATest.CONTEXT_CONFIGURATION, classes=TestConfig.class)
public class REjercicioDAOTest extends ATest {

   @Autowired
   private ICustomFileHandler customFileHandlerMock; 

    @Autowired
    private IREjercicioDAO rEjercicioDAO;

Макет вводится, и вы можете настроить его в своем тесте по своему усмотрению.