Можем ли мы передать java-метод в функцию kotlin типа () -> Unit?

Допустим, ваш метод Java находится в классе с именем Test:

public class Test {
    void onRefreshClick() {
        System.out.println("test");
    }
}

Это может быть вызвано вашей функцией Kotlin следующим образом (в качестве справки):

val t = Test()
initDrawer(drawerView, drawerlayout, this, t::onRefreshClick)

onRefreshClick также может быть статическим в Java, что позволит вам использовать его следующим образом:

initDrawer(drawerView, drawerlayout, this, Test::onRefreshClick)

Примечание: В Kotlin () -> Unit - это тип функции, которая не имеет аргументов и ничего не возвращает (это Unit, а не Nothing в качестве возвращаемого типа).

В Java нет Unit. Метод Java, соответствующий этому типу, не будет иметь аргументов и будет иметь тип возвращаемого значения void.

Вы должны установить возвращаемое значение вашего onRefreshClick в Unit:

private Unit onRefreshClick() {
    //do something here
    return Unit.INSTANCE;
}

Тогда вы можете назвать это так:

initDrawer(drawerView, drawerLayout, this, this::onRefreshClick);

Вы не можете передать свой Java-метод напрямую из Java, поскольку параметр Kotlin ожидает, что метод вернет Unit.

Вы можете следовать следующему шаблону:

kotlinClass.higherOrderFunction(() -> {functionToPass(); return Unit.INSTANCE;});

где functionToPass() определяется как:

private void functionToPass() {
    // do something
}

В твоем случае:

initDrawer(drawerView, drawerlayout, this, 
  () -> {onRefreshClick(); return Unit.INSTANCE;})