Можно ли передавать текстовые поля в качестве параметра?

Да, это возможно:

void MyMethod(string str, TextBox txt)
{
     txt.Text = str + " some text from the method itself";
}

Вы даже можете вернуть TextBox:

TextBox MyFunc(string str)
{
    TextBox txt = new TextBox();
    txt.Text = str;
    return txt;
}

Вы пытаетесь преобразовать TextBox в Int32: Convert.ToInt32(tb_viewIngredient1) который не может быть проанализирован для Int32. Вы можете преобразовать его текст в int32 (если он имеет числовое значение и может быть проанализирован), например:

int.Parse(tb_viewIngredient1.Text)

или

Conver.ToInt32(tb_viewIngredient1.Text)

Проблема в двух местах

Имя Метода(нить theStringVariable, tb_1, tb_2);

private void имя_метода (строка StringVariable, TextBox tb_name, TextBox tb_allergen) {

Convert.ToInt32(tb_viewIngredient1) вызовет исключение, потому что вы пытаетесь преобразовать элемент управления TextBox в int. Вместо этого попробуйте передать свойство Text метода TextBox:

Convert.ToInt32(tb_viewIngredient1.Text)

Проблема в (Convert.ToInt32(tb_viewIngredient1), вы должны преобразовать его в:

(Convert.ToInt32(tb_viewIngredient1.Text)

Здесь я вижу три разных варианта. Любой из них будет даже лучше, чем фиксированный код, в зависимости от ваших потребностей. Все они касаются двух моментов:

1. Вы можете использовать справочную таблицу для аллергенов, а не переключатель. Полученный код короче/проще и должен работать быстрее.
2. Вы перебираете каждый элемент в ingredientList, но текстовые поля будут хранить данные только из последнего элемента в списке. Либо посмотрите только на этот последний элемент (нет необходимости в цикле), либо используйте все элементы в списке (например: создайте строки csv). Цикл сам по себе является расточительным и усложняет код.

.

private void populateBoxesWithIngredientResults(IEnumerable<ingredient> ingredientList, TextBox tb_name, TextBox tb_allergen)
{
    string nameDelimiter = "";
    string allergenDelimiter = "";

    string ingredients = "";
    string allergens = "";

    var allergenTable = {"N/A", "Nut", "Gluten", "Dairy", "Egg"};

    foreach (ingredient ingredient in ingredientList)
    {
        //Is Convert.ToString() really needed here?
        // I feel like ingredient.IngredientName is ALREADY A STRING
        ingredients += delimiter + Convert.ToString(ingredient.IngredientName);
        nameDelimiter = ",";

        if (ingredient.AllergenID > 0 && ingredient.AllergenID < allergenTable.Length)
        {
            allergens += allergenDelimiter + allergenTable[ingredient.AllergenID];
            allergenDelimiter = ",";
        }
    }
    if (allergens == "") allergens = "N/A";

    tb_name.Text = ingredients;
    tb_allergen.Text = allergens;
}

или

private void populateBoxesWithIngredientResults(IEnumerable<ingredient> ingredientList, TextBox tb_name, TextBox tb_allergen)
{       
    tb_name.Text = string.Join(",", ingredientList.Select(i => i.IngredientName));

    var allergenTable = {"N/A", "Nut", "Gluten", "Dairy", "Egg"};
    var allergens = ingredientList.
         Select(i => (i.AllergenID > 0 && i.AllergenID < allergenTable.Length)? allergenTable[i.AllergenID]):"").
         Where(i => i.Length > 0);
    var result = string.Join(",", allergens);
    if (string.IsNullOrEmpty(result)) result = "N/A";

    tb_allergen.Text = result;
}

или

private void populateBoxesWithIngredientResults(List<ingredient> ingredientList, TextBox tb_name, TextBox tb_allergen)
{    
    if (ingredientList.Length == 0)
    {
        tb_name.Text = "";
        tb_allergen.Text = "";
    }

    var allergenTable = {"N/A", "Nut", "Gluten", "Dairy", "Egg"};
    var ingredient = ingredientList[ingredientList.Count - 1];

    tb_name.Text = ingredient.IngredientName;  
    if (ingredient.AllergenID >= 0 && ingredient.AllergenID < allergenTable.Length)
    {
        tb_allergen.Text = allergenTable[ingredient.AllergenID];
    }
    else
    {
        tb_allergen.Text = "N/A";
    }
}