Найти 200-значные простые числа, используя BigInteger

Неверно, что 1 + произведение первых n простых чисел всегда простое. Возможно, вы неправильно помните его роль в доказательстве того, что существует бесконечно много простых чисел. является верно, что если p_1, p_2, ..., p_n — первые n простые числа, то

p_1 * p_2 * ... * p_n + 1

является либо простым, либо содержит простой множитель, который больше любого из этих p_i, но это согласуется с тем, что число является составным. Дополнительную информацию см. в статье Википедии о первобытные.

В случае попытки набрать 200 цифр произведение первых 92 простых чисел + 1 содержит 199 цифр, а произведение первых 93 простых чисел + 1 — 201 цифру. В обоих случаях Тест Миллера-Рабина показывает, что они составные. Я не смог разложить на множители 199-значный, но 201-значный фактор как

509558935064289364432032169616857776489168568369134671296055828054188240764364761921821351373922822013621199759688858354748131233614846920025560717744496960296617420071391914813530238313960697008021211 = 11587 * 43976778723076669062918112506848863078378231498156094873224806080451216083918595142989673890905568483094951217717170825472351016968572272376418461874902646094469441621765074205016849772500275913353

С числами такой величины единственный эффективный способ получить простое число — это случайным образом сгенерировать число-кандидат целевого размера и проверить его на простоту (используя что-то вроде теста Миллера-Рабина). По теореме о простых числах 200-значных простых чисел относительно много, поэтому на практике такое простое число можно найти очень быстро. Например, сценарий Python, который я написал с помощью Миллера-Рабина, выдал следующее 200-значное простое число менее чем за секунду:

49675218696612399034240799519655205503986657506787162015105425670413948962864456158664793804627084299081036134562339483478437262146378569515417671690110863951848724044479367633926630234074394356492223

При редактировании: Вот скрипт Python, который я использовал, чтобы найти 200-значное простое число. Код был для класса, который я вел по криптографии, поэтому я написал его так, чтобы его было легко обсуждать, а не сжато или эффективно:

import random

#The following function finds s and d in
#n-1 = 2^s*d with d odd
def findSD(n):
    s = 0
    d = n-1
    while d % 2 == 0:
        s = s + 1
        d = d//2
    return s,d

def checkBase(a,n):
    s,d = findSD(n)
    x = pow(a,d,n)
    if x == 1 or x == n-1:
        return "probable prime"
    else:
        for i in range(s-1):
            x = pow(x,2,n)
            if x == 1:
                return "composite"
            elif x == n-1:
                return "probable prime"
        #if you get to this stage, -1 not reached despite s-1
        #squarings -- so must be composite
        return "composite"

def MSR(n,k):
    #Implements the Miller-Selfridge-Rabin test for primality
    for i in range(k):
        a = random.randint(2,n-2)
        if checkBase(a,n) == "composite":
            return "composite"
    #if you get here n has survived k potential witnesses, so
    return "probable prime"

#The following function is slightly different from the one discussed in class:

def prime(n):
    smallPrimes = [2,3,5,7,11,13,17,19]

    for p in smallPrimes:
        if n == p:
            return True
        elif n % p == 0:
            return False

    if MSR(n,20) == "composite":
        return False
    else:
        return True

def findPrime(maxN):
    while True:
        m = random.randint(1,maxN//2)
        n = 2*m+1
        if prime(n):
            return n

Например, findPrime(10**200) обычно дает вам 200-значное простое число (хотя возможно получение 199-значного или даже меньшего числа).

в классе BigInteger есть метод:

isProbablePrime(int)

он использует тот же алгоритм, что и наш друг, здесь: Но он также проверяет результат другим алгоритмом. Он работает довольно аккуратно.