Обнаружение события закрытия всплывающего окна javascript

Для захвата события закрытия окна требуется обработчик событий onbeforeunload:

var new_window = window.open('some url') new_window.onbeforeunload = function(){ my code}

так что в вашем случае:

function start() {
$.ajax({
    type: "post",
    dataType: "html",
    url: 'client_get',
    crossDomain: true,
    data: {
        'id': '123'
    },
    success: function (response) {
        try {
            var json = JSON.parse(response);
        } catch (err) {
            start();
        }
        jQuery(document).ready(function ($) {
            var close_interval = setInterval(function () {
                var newwindow = window.open('https://www.example.com/key?v=' + json[0]['url'], 'key', 'width=800,height=600,status=0,toolbar=0');
                newwindow.onload = function() {
                    newwindow.onbeforeunload = function() {
                        console.info("Closed");
                        clearInterval(close_interval);
                    }
                }
            }, 1000);
        });

    }
});
}