Очистка форм в React после отправки

Вы можете сделать что-то вроде

 resetForm = () => {
    this.setState({fullName: "", email: "", message: ""});
}

Это вернет эти значения к нулю.

Ваше состояние обновляется при изменении ввода формы.

handleFields = e => this.setState({ [e.target.name]: 'e.target.value' });

Состояние не является статическим объектом.

Вам придется вручную обновить значения полей.

resetForm = () => {
    this.setState({fullName: "", email: "", message: ""})
}

Вам нужно очистить состояние после отправки. После вызова setState рендеринг реакции будет вызван снова с пустыми значениями, которые мы установили, надеюсь, это поможет.

 .then(function (response) {
        let successMessage = document.querySelector('.success-message');
         // here clear the state,
         this.setState({
           fullName: '',
           email: '',
           message: '',
         });
        successMessage.innerHTML = JSON.stringify(response.data.title);
    })

Вам не нужна функция resetForm (полностью избавьтесь от нее), просто установите свое состояние в handleForm следующим образом:

ОБНОВЛЕНИЕ: вам также необходимо добавить значение для каждого входа, чтобы сделать его контролируемым входом, см. ниже:

import React, { Component } from 'react';
import { Grid, Cell, Textfield, Button } from 'react-mdl';
import './Contact.css';
import axios from "axios";

class Contact extends Component {
  constructor(props) {
    super(props);
    this.state = { fullName: "", email: "", message: "" };
  }

  handleForm = e => {
    axios.post(
      "https://formcarry.com/s/axiosID",
      this.state,
      { headers: { "Accept": "application/json" } }
    )
      .then(function (response) {
        let successMessage = document.querySelector('.success-message');
        successMessage.innerHTML = JSON.stringify(response.data.title);
      })
      .catch(function (error) {
        let successMessage = document.querySelector('.success-message');
        successMessage.innerHTML = JSON.stringify(error);
      });

    e.preventDefault();
    this.setState({fullName: '', email: '', message: ''}) // <= here
  }
  handleFields = e => this.setState({ [e.target.name]: e.target.value }); 

  render() {
    return (
      <Grid>
        <Cell col = {6}>
          <h2>Contact Me</h2>
          <hr />
          <div style = {{ width: '100%' }} className = "contact-list">
            <form onSubmit = {this.handleForm}>
              <Cell col = {12}>
                <Textfield type = "text" id = "fullName" name = "fullName" className = "full-name"
                  onChange = {this.handleFields}
                  value = {this.state.fullName} // <= here
                  label = "Full name"
                  floatingLabel
                  style = {{ width: '200px' }}
                />
              </Cell>
              <Cell col = {12}>
                {/* Textfield with floating label */}
                <Textfield type = "email" id = "email" name = "email" className = "email-address"
                  onChange = {this.handleFields}
                  value = {this.state.email} // <= here
                  label = "Email address"
                  floatingLabel
                  style = {{ width: '200px' }}
                />
              </Cell>
              <Cell col = {12}>
                {/* Floating Multiline Textfield */}
                <Textfield name = "message" id = "message" className = "text-body"
                  onChange = {this.handleFields}
                  value = {this.state.message} // <= here
                  label = "Your message..."
                  rows = {10}
                  style = {{ width: '400px' }}
                />
              </Cell>
              <Button raised accent ripple type = "submit">Send</Button>
              <div className = "success-message">
                <label></label>
              </div>
            </form>
          </div>
        </Cell>
      </Grid>
    )
  }
}


export default Contact;

В качестве примечания: просмотрите ссылки React для захвата элементов dom... подробнее здесь: https://reactjs.org/docs/refs-and-the-dom.html

Из показанного кода не видно, были ли значения полей формы присвоены значениями из состояния. (например, для fullName field: value = this.state.fullName). Если бы значение не было присвоено, форма не была бы перерисована, даже если бы setState был правильно определен.