ООП-Java. Добавление объектов Animal в Arraylist в классе из основного

Каждый раз, когда вы вызываете addAnimal, вы создаете новый объект Cage и добавляете новое животное в эту клетку. Чтобы добавить нескольких животных в одну клетку, метод addAnimal не может быть статическим, а клетка должна быть членом какого-то класса (AnimalKeeper?)

Что-то вроде этого

public class AnimalKeeper {
  private Cage cage;

  public Cage getCage() {
      return cage;
  }

  public addAnimalToCage(Animal animal) {
      //the same method as above minus the user input
      //which needs to be done somewhere else
  }
}

Я изо всех сил пытался понять, что именно вы имели в виду, реорганизовал ваш код так, чтобы он выглядел так

class DuplicateNameException extends Exception {

    private String message;

    public DuplicateNameException(String message){
        this.message = message;
    }

    public String getMessage(){
        return this.message;
    }

}

class Animal {
    private String name;

    public Animal(String name) {
        this.name = name;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }
}


class Cage {
    private int placeNr;

    private ArrayList<Animal> animals = new ArrayList<Animal>();

    public Cage(int place) {
        this.placeNr = place;
    }

    public int getCageNr() {
        return this.placeNr;
    }


    public void putAnimal(Animal animal) throws DuplicateNameException {
        if (!duplicatedAnimal(animal.getName())) {
            animals.add(animal);
        } else {
            throw new DuplicateNameException(animal.getName());
        }
    }

    private boolean duplicatedAnimal(String name) {
        for (Animal animal : animals)
            if (animal.getName().equals(name))
                return true;

        return false;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Animal newAnimal;
        Cage cage;
        try {
            cage = new Cage(1);
            newAnimal = new Animal("Dog");
            cage.putAnimal(newAnimal);
            cage.putAnimal(new Animal("not dog"));
            cage.putAnimal(new Animal("Dog"));
        } catch (DuplicateNameException dne) {
            System.out.println(dne.getMessage());
        }
    }
} 

Примечание: с этим кодом вам необходимо учитывать случаи, когда имена животных написаны в нижнем и верхнем регистре (equals вернет false в этом случае), используйте toLowerCase() или toUpperCase(), чтобы привести имя к общему правилу.

другой вариант, который вы можете выбрать, - использовать объект HashMap, этот тип структуры имеет встроенную функцию устранения дублирования, вам придется переопределить функцию hashCode() в Animal, чтобы map знал, как хешировать каждый объект, например

@Override
public int hashCode() {
  return this.name.hashCode()
}