Отправка формы в документе, полученном с помощью DOMParser

да. Вам нужно получить форму из тела документа, создать объект FormData и установить значения полей, а также отправить запрос POST.

Для простоты я использовал Fetch API: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/Fetch_API. Я также предположил, что учетные данные также должны быть переданы из того же источника.

fetch('<GET URL>', {method: "GET", credentials: 'same-origin'})
  .then((response) => (response.text()))
  .then((responseBody) => {
    var html = htmlBody(responseBody);
    var form = html.querySelector('#my-form'); // whatever your form is called
    var formData = new FormData();

    formData.append('someName', 'someValue'); // the field name will probably come from your form fields

    postForm(formData)
      .then((response) => (response.text()))
      .then((responseBody) => {
        // whatever with the form post response
    });
})

function htmlBody(string) {
  var document = new DOMParser;
  return document.parseFromString(string, 'text/html').body;
}

function postForm(formData) {
  return fetch('<POST URL>', {
    method: 'POST',
    body: formData,
    credentials: 'same-origin'
  })
}