Перемещайте объекты из набора в другой набор с другим функтором сравнения

Похоже, вы могли бы использовать set::extract для удаления элементов из первого набора и перегрузку дескриптора узла set::insert, чтобы добавить их во второй набор. Нет S не будет скопировано или перемещено во время этого процесса.

Так

#include <set>
#include <iostream>
#include <utility>

struct S {
    int a;
    
    S(int a) : a{a} { std::cout << "Constructor\n"; }
    S(const S& s) : a{s.a} { std::cout << "Copy constructor\n"; }
    S(S&& s) : a{std::exchange(s.a, 0)} { std::cout << "Move constructor\n"; }
    S& operator=(const S& s) { std::cout << "Copy assignment\n"; return *this = S(s); }
    S& operator=(S&& s) { std::cout << "Move assignment\n"; std::swap(a, s.a); return *this; }
};

int main() {
    auto order = [] (const S& s1, const S& s2) -> bool { return s1.a < s2.a; };
    auto inver = [] (const S& s1, const S& s2) -> bool { return s2.a < s1.a; };
    
    std::set<S, decltype(order)> set1;
    set1.emplace(1);
    set1.emplace(3);
    set1.emplace(2);
    
    std::set<S, decltype(inver)> set2;    
    // extract the first node
    auto h = set1.extract(set1.begin());
    // add to the second set
    set2.insert(std::move(h));

    for(auto&& s : set1) {
        std::cout << s.a << " ";
    }
    std::cout << "\n";
    for(auto&& s : set2) {
        std::cout << s.a << " ";
    }
    std::cout << "\n";
    
    return 0;
}

Выход

Constructor
Constructor
Constructor
2 3
1

Как видите, ничего не копировалось и не перемещалось.

Вы можете использовать std::set::extract (с std::move и std::set::emplace) следующим образом:

std::set<S, decltype(inver)> set2;
auto it = set1.begin();
while (it != set1.end())
{
    auto tmp = it;
    it++;   // increment `it` while it is still valid
    set2.emplace(std::move(set1.extract(tmp).value()));  // this will invalidate `tmp`, but we not longer need it for the loop
}

Обратите внимание, что мы используем итератор tmp для extract (который делает его недействительным) при увеличении it, который используется в цикле заранее, пока он все еще действителен.
Таким образом, вместо конструктора копирования будет вызываться конструктор перемещения S.

Live demo 1

Другой вариант — использовать std::set::insert с дескриптором узла (вместо std::set::emplace).
Это переместит весь узел, и даже конструктор перемещения S не будет вызван:

auto it = set1.begin();
while (it != set1.end())
{
    auto tmp = it;
    it++;   // increment `it` while it is still valid
    set2.insert(std::move(set1.extract(tmp))); // this will invalidate `tmp`, but we not longer need it for the loop
}

Live demo 2