Получение неопределенной ошибки индекса и имя метода должно быть строкой в ​​..error в PHP

Перед вызовом $page = $controller->$action(); проверьте, существуют ли controller и action:

if (isset($routes[$this->route][$this->method]['controller']) 
    && isset($routes[$this->route][$this->method]['action'])) {
    $controller = $routes[$this->route][$this->method]['controller'];
    $action = $routes[$this->route][$this->method]['action'];
    $page = $controller->$action();
    // ...
} else {
   // return 404 Page not found
}

This code is runnable in php 7.2.7 (MAMP and LAMP), your way of dynamic function calling is invalid and your two variables are empty. This is not exact as yours but you can take logic form this demo.

Хорошо, я просто предоставляю очень простой пример отражения с сопоставлением URL-адреса с классом вместе с функциями. Я делаю структуру папок, как показано ниже -

1. Здесь .htaccess используется для перенаправления всех URL-адресов на index.php (если файл не существует).
2. index.php включает весь код, который может инициализировать код (пока там было только три файла - uri.php, urlMapping.php и actions.php)
3. URI.php - иметь функцию, которая предоставляет такие значения, как basepath, baseurl, uri
4. urlMappig.php - это позволяет указать, какой URL-адрес попал в какой класс вместе с методом
5. actions.php вызовет динамический класс и функцию (отражение)

теперь посмотрим на код index.php

    <?php
        include_once('URI.php');
        include_once('urlMapping.php');
        include_once('actions.php');

    ?>

Теперь кодируйте файл uri.php -

<?php
   // all function should be accessible to all file loaded now
   // return full url
    function full_url (){ 
        return (isset($_SERVER['HTTPS']) ? "https" : "http") . "://$_SERVER[HTTP_HOST]$_SERVER[REQUEST_URI]";
    }
    // returns current directory
    function directory() {
        $parts = explode("/", __DIR__);
        return $parts[count($parts)-1];
    }
    // return base url
    function base_url(){ 
        $dir = directory();
        return  substr(full_url(), 0, strpos(full_url(), $dir)+strlen($dir));
    }
    // return uri
    function uri() { 
        return substr(full_url(), strlen(base_url())+1);
    }
?>

Теперь код в urlMapping.php

Note - file name and name of the class must be same as you map url in this file so that you can make call to dynamic classes and function on actions.php. If don't this will not work

<?php
    // this $urlMap will be accessed in actions.php
    $urlMap = [
        // here we use only uri so .. https://example.com/login hit LoginController class along with login function, this is just only the mapping
        'login' => ['class'=>'LoginController',
                    'function'=>'login'],
    ];
?>

Теперь код actions.php

<?php
    // if call is not like example.com/ means no uri is there
    if (uri()!='')
    {
        // if your uri exists in route collection or urlmapping collection then make call to your dynamic class and methods
        if (array_key_exists(uri(), $urlMap))
        {
            // include the class file dynamically from controllers folder
            include_once('controllers/'.$urlMap[uri()]['class'].'.php');
            // making references for dynamic class
            $controlerObject = new $urlMap[uri()]['class']();
            // call function dynaically from the referece
            $controlerObject->{$urlMap[uri()]['function']}();           

        }
        else
        {
            // you can make 404 page not
            echo 'No routing found';
        }
    }
    // call for home page 
    else
    {
        include_once('index.html.php');
    }
?>

Теперь класс controllres / LoginController.php,

Note - As mentioned above file name and name of the class as in urlMapping.php

<?php
    class LoginController{
        public function login()
        {
            // .... something your code goes here

            echo 'hello from the login function of login controller';
        }
        //...... other function you can define
    }
?>