Получить успешный вход в систему и перенаправить с помощью узла js

Вы запутались между обратным вызовом и обещанием узнать, как работать с асинхронной операцией

Ваш код будет выглядеть так

function loginUser(email, password){
console.info(email, password);
// return promise
return firebase.auth().signInWithEmailAndPassword(email, password)
    .then(function(firebaseUser) {
       // Success
        console.info('Ok, lovelly I\'m logged');
        return firebaseUser
   })
}

И контроллер будет

   const userService = require('./auth');

    app.post('/login', function (req, res) {

    var userEmail = req.body.emailLogin;
    var userPassword = req.body.passwordLogin;
    console.info(userEmail, userPassword); //This log the email and the password

    userService.loginUser(emailRegister, passwordRegister)
        .then(function () {
            res.render('user');
        })
        .catch(function (error) {
            // Error Handling
            var errorCode = error.code;
            var errorMessage = error.message;
            console.info(errorCode); //auth/user-not-found
            console.info(errorMessage); //There is no user record corresponding to this identifier. The user may have been deleted.
            return res.status(401).send('Unauthorized');
        })

Вы написали свой код в стандартах до ES6, используя концепцию обратных вызовов.

const userService = require("./auth");

app.post("/login", function(req, res) {
  var userEmail = req.body.emailLogin;
  var userPassword = req.body.passwordLogin;
  console.info(userEmail, userPassword); //This log the email and the password

  userService.loginUser(
    userEmail,
    userPassword,

    function(error, authData) {
      if (error) {
        return res.status(401).send("Unauthorized");
      } else {
        res.render("user");
      }
    }
  );
});

Но вы забыли включить аргумент обратного вызова в пользовательский метод входа в систему, и после успешного входа в пользовательский метод вызовите callback(null, result), а если это ошибка, вызовите callback(error).

function loginUser(email, password, callback) {
      console.info(email, password);
      firebase
        .auth()
        .signInWithEmailAndPassword(email, password)
        .then(function(firebaseUser) {
          // Success
          console.info("Ok, lovelly I'm logged");
          callback(null, firebaseUser);
        })
        .catch(function(error) {
          // Error Handling
          var errorCode = error.code;
          var errorMessage = error.message;
          console.info(errorCode); //auth/user-not-found
          console.info(errorMessage); //There is no user record corresponding to this identifier. The user may have been deleted.

          callback(error);
        });
    }

Я переписал код с использованием последних стандартов, используя async/await, который намного чище и короче.

app.post("/login", async (req, res) => {
const userEmail = req.body.emailLogin,
    userPassword = req.body.passwordLogin;
  const user = await loginUser(userEmail, userPassword).catch(error => {
    return res.status(401).send("Unauthorized");
  });
  res.render("index.js", user);
});

const loginUser = async (email, password) => {
  try {
    const user = await firebase
      .auth()
      .signInWithEmailAndPassword(email, password);
    return user;
  } catch (error) {
    throw error;
  }
};

Есть концепция промисов, которую я не собираюсь рассматривать, потому что async/await — это синтаксический сахар. Вы можете прочитать обо всем этом на асинхронно/ожиданиеобещанияобратные вызовы