POST-запрос не получен

<form id = "form1" method = "post" action = "your_php_file.php">

Это укажет на ваш php-файл и отправит запрос POST от вашего внешнего интерфейса к внутреннему. Согласно вашему коду, вы ничего не отправляете в свой php файл. Таким образом, код, который у вас есть, может работать, но ваш запрос никогда не отправляется в ваш php-файл, поэтому в базу данных ничего не помещается.

Редактировать

Чтобы не перезагружать страницу, как вы просили, вы не должны отправлять форму, но вы должны сделать ajax-вызов на стороне сервера.

  <script src = "https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.11.3/jquery.min.js"></script>
<script src = "https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.5/js/bootstrap.min.js"></script>
<div id = "formDiv">
    <input type = "text" name = "title" placeholder = "Title">
    <br>
    <input type = "text" name = "firstname" placeholder = "First Name">
    <br>
    <input type = "text" name = "lastname" placeholder = "Last Name">
    <br>
    <input type = "text" name = "group" placeholder = "Group">
    <br>
    <input type = "text" name = "company" placeholder = "Company">
    <br>
    <select name = "sex" required>
        <option value = "" disabled selected>Sex/option>
        <option value = "male">male</option>
        <option value = "female">female</option>
    </select>
    <br>
    <button type = "button" id = "insert" name = "insert">Insert</button>
</div>


<script>


    $( "#insert" ).click(function() {
        let title = $("input[name=title]").val();
        let firstname = $("input[name=firstname]").val();
        let lastname = $("input[name=lastname]").val();
        let group = $("input[name=group]").val();
        let company = $("input[name=company]").val();
        let sex = $("input[name=sex] option:selected").text();


        $.ajax({
            method: 'POST',
            url: 'your_php_file.php',
            data: {'title': title, 'firstname': firstname, 'lastname': lastname, 'group': group, 'company': company, 'sex': sex},
            success: function (response) {
                console.info(works)
            },
            error: function (jqXHR, textStatus, errorThrown) {
                console.info(JSON.stringify(jqXHR));
                console.info("AJAX error: " + textStatus + ' : ' + errorThrown);
            }
        });
    })
</script>

Таким образом, данные будут отправлены на ваш сервер, и вы сможете обрабатывать их так же, как и вы. Он в формате json, поэтому не забудьте при необходимости декодировать.

    <div id = "formDiv">
        <form id = "form1" method = "post" action = "#">
            <input type = "text" name = "title" placeholder = "Title">
            <br>
            <input type = "text" name = "firstname" placeholder = "First Name">
            <br>
            <input type = "text" name = "lastname" placeholder = "Last Name">
            <br>
            <input type = "text" name = "group" placeholder = "Group">
            <br>
            <input type = "text" name = "company" placeholder = "Company">
            <br>
            <select name = "sex" required>
                <option value = "" disabled selected>Sex/option>
                <option value = "0">male</option>
                <option value = "1">female</option>
            </select>
            <br>
            <button type = "submit" id = "insert" name = "insert">Insert</button>
        </form>
    </div>
<script>
    $('#form1').submit(function (e) {

    e.preventDefault();
        var senddata = $(this).serializeArray();
        var sendto = $(this).attr("action");

    $.ajax({
        url: sendto,
        type: 'POST',
        data: senddata,
            success: function (data) {
            $('.messages').html(data);
            },
            error: function (error) {
            $('.messages').html(error);
            }
        });
    });
</script>