Прочитать все файлы из папки, начиная со 2-го файла в Java

Получите первый файл как listOfFiles[0] и проделайте с ним операцию1.

Затем используйте простой (обычный) цикл для, начиная с индекса 1.

for (int i = 1; i < listOfFiles.length; i++) {
   File currentFile = listOfFiles[i];
   //do Operation 2 with currentFile
}

Примечание от javadoc из Files.listFiles

There is no guarantee that the name strings in the resulting array will appear in any specific order; they are not, in particular, guaranteed to appear in alphabetical order.

Согласно вашему комментарию, похоже, что вам не нужно сортировать список файлов в определенном порядке перед их обработкой. В этом случае,

File folder=new File(Folder);            
File[] listOfFiles=folder.listFiles();          

//use a normal for loop to keep track of the index
for(int i=0; i<listOfFiles.length; i++){
   //the file in the current index of iteration
   File currentFile = listOfFiles[i];
   if (i==0){
      //Do something with first file
   }
   else{
      //Here I want to read from the 2nd file to do different set of operations
   }
}

В приведенном выше коде поместите код операции для первого файла в блок если и код для остальных файлов в блок еще.

Не используйте больше java.io.File, используйте java.nio - он существует уже пару лет! Помимо более простого использования, включая потоки Java 8, одним преимуществом является то, что вы не ограничены файловой системой по умолчанию. Вы даже можете использовать файловую систему в памяти, такую ​​как Google JimFS. Как указывали другие, нет никакой гарантии в отношении порядка файлов. Однако вы мая вводите свою собственную сортировку:

FileSystem fs = FileSystems.getDefault(); // use a file system of your choice here!
Path folder = fs.getPath(...);

Files.newDirectoryStream(folder)
     .sorted((a, b) -> { ... })
     // this realizes the skipping of the first element you initially requested:
     .skip(1)
     .forEach(f -> { ... });

Если вы хотите выполнить действие A для первого элемента и действие B для второго, это может стать немного сложнее: вы можете определить логическое значение firstFileHasBeenProcessed как внешнюю зависимость, для которой будет установлено значение true после обработки первого файла, но я am нет уверен, что потребители для всех файлов будут работать строго последовательно - или если обработка первого файла может быть прервана, чтобы начать обработку сеонда, до того, как этот флаг может быть установлен.

Вы всегда можете преобразовать поток в массив ...

final Path[] allFiles = Files.newDirectoryStream(folder)
                      .sorted((a, b) -> { ... })
                      .toArray(Path[]::new);

... или список, чтобы получить больший контроль.

final List<Path> allFiles = Files.newDirectoryStream(folder)
                          .sorted((a, b) -> { ... })
                          .collect(Collectors.toList());

boolean firstHasBeenProcessed = false;
for (final Path currentFile: allFiles) {
    if (firstHasBeenProcessed) {
        processAsFollowUpFile(currentFile);
    } else {
        processAsFirstFile(currentFile);
        firstHasBeenProcessed = true;
    }
}