Проверить класс объекта

Вам нужно вернуть результат функции msqli_query:

public function napravi_insert($imeTablice,$ime,$prezime) {
    $conn=$this->spajanje();
    $insert_state = mysqli_query($conn,"insert into $imeTablice values('','".$ime."','".$prezime."')");
    return $insert_state !== false;
}

Итак, ваш код выглядит следующим образом:

class.php

<?php 
class Database {
    private $host = "localhost";
    private $user = "root";
    private $pass = "";
    private $db = "vjezba";

    public function spajanje() {
        return mysqli_connect($this->host, $this->user, $this->pass, $this->db);
    }

    public function napravi_insert($imeTablice, $ime, $prezime) {
        $conn = $this->spajanje();
        $insert_state = mysqli_query($conn, "INSERT INTO $imeTablice VALUES ('','".$ime."','".$prezime."')");
        return $insert_state !== false;
    }
}

index.php

include "klase.php";

$radnja = new Database();

//use extract method so no need to call $_POST again and again
extract($_POST);

if (isset($save)) {
    $imeTablice = "admin2";

    if ($radnja->napravi_insert($imeTablice, $ime, $prezime) === true) {
        echo "Done!";
    } else {
        echo "Error!";
    }
}

Статус первого запроса возврата из метода napravi_insert

public function napravi_insert($imeTablice,$ime,$prezime) {
    $conn=$this->spajanje();
    return mysqli_query($conn,"insert into $imeTablice values('','".$ime."','".$prezime."')");
}

Затем сравните возвращаемое значение метода napravi_insert

$insert_status = $radnja->napravi_insert($imeTablice,$ime,$prezime);
if ($insert_status == TRUE) {
    echo "Done!";
} else {
   echo "Error!";
}

Надеюсь, что это поможет вам.