Рендеринг массива объектов в React

Здесь нужно переместить свойство ключ:

board.push(<div key = {i}><Row /></div>);

Поскольку key должен быть во внешнем элементе каждого элемента в массиве

Вы должны использовать ключ в родительском элементе т.е. div в вашем примере:

for( let i=0; i<3;i++){
  board.push(<div key = {i}><Row /></div>);
}

Кстати, вы можете просто использовать:

for( let i=0; i<3;i++){
  board.push(<Row key = {i} />);
}

Лучше всего использовать некоторую строку вместо присвоения числового значения, чтобы она не конфликтовала с другим ключом элемента:

for( let i=0; i<3;i++){
  board.push(<Row key = {'row-'+i} />);
}

Ключевой атрибут должен быть в первом элементе итерации, который является элементом div:

board.push(<div key = {i}><Row /></div>);

Также обратите внимание, что эта строка for( let i=props.key*3;i<(props.key+3);i++) может не работать для вас, так как больше нет ключевой опоры.

Вы можете изменить его на: for( let i=0;i<3;i++)

Обратите внимание, что это Антипаттерн для использования индекса в качестве ключа.

a key is the only thing React uses to identify DOM elements. What happens if you push an item to the list or remove something in the middle? If the key is same as before React assumes that the DOM element represents the same component as before. But that is no longer true.

Взял от Эта среда - индекс как ключ - это антипаттерн.

Обновлено:

Добавлен пример кода, который должен работать за вас.

Обратите внимание, что я удалил компонент Row, поскольку он кажется лишним.

Я не понял, зачем вам две петли for? Вам нужно 9 входов или 3 входа?

import React from 'react';
import ReactDOM from 'react-dom';
import './index.css';

function Square(props) {
  return (<input type='text' id = {props.key} value = {props.value}></input>);
}

class Box extends React.Component {
  constructor(props) {
    super(props);
    this.state = {
      squares: Array(9).fill(null),
      xIsNext: true,
    };
  }
  render() {
    let board = [];
    for (let i = 0; i < 3; i++) {
      const key = `${i}row`;
      board.push(<Square key = {key} value = {i} />);
      console.info(i)
    }
    return (board);
  }
}
ReactDOM.render(
  <Box />,
  document.getElementById('root')
);