Счетчик слов Javascript с включенными отключенными кнопками

Вы настроили форму для выполнения запроса GET. Когда вы щелкаете элемент input type = "image", срабатывает событие отправки формы и выполняется запрос GET на страницу. Поскольку для этих запросов нет кода обработчика, ваша страница фактически проходит через «обновление», как вы заметили.

Чтобы предотвратить такое поведение, захватите объект event из запущенного события click и используйте его для preventDefault() в своей функции обратного вызова:

$(document).ready(function() {
  $("input").click(function(e) {
    e.preventDefault();
    var words = $.trim($("textarea").val()).split(" ");
    document.getElementById("resultDiv").innerHTML = words.length;
  });
});

<script src = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script>
<div id = "wordcounter">
  <form action = "" method = "get" name = "frm" onSubmit = "TextCount();">
    <!--Text Area-->
    <textarea id = "mytext"></textarea><br/>
    <!--Image Flipped Here-->
    <input type = "image" id = "submit" src = "imgs/arrow_button_metal_green_right_T.png" alt = "Submit" onclick = "document.getElementById('submit').src='imgs/arrow_button_metal_green_left_T.png'">
    <br/>
    <!--Result-->
    <div id = "resultDiv">0</div>&nbsp;Characters
  </form>
</div>

Вероятно, лучше использовать фокус вместо щелчка, если пользователь использует вкладку или что-то в этом роде.

$(document).ready(function() {
    $('input').blur(function () {
        $('#submit').attr("disabled", "disabled");
    });

    $("input").focus(function () {
        $('#submit').prop('disabled', false);
        var words = $.trim($("textarea").val()).split(" ");
        $("#resultDiv").innerHTML = words.length;
    });

    $("#submit").click(function(){
        var imageSource = $(this).attr('src');
        if (imageSource == "imgs/arrow_button_metal_green_left_T.png"){
            $(this).attr("src","imgs/arrow_button_metal_green_right_T.png");
        }else{
            $(this).attr("src","imgs/arrow_button_metal_green_left_T.png");
        }
    });
});

Вы можете получить результатDiv проще с jQuery.