SetState не обновляет React Native

Вы должны иметь возможность решить эту проблему, взяв клон / копию корзины, а не изменяя тот же экземпляр корзины, который вы кэшируете. Один из подходов к этому может быть следующим:

delete(index){

    // Use filter to clone the Cart array instance, while excluding 
    // the cart item that you want to delete (ie at index)
    const newCart = this.state.Cart.filter(function(item, i) { return i !== index });

    this.setState({deletedIndex:index, cachedCart:this.state.Cart, Cart: newCart },
        function(){
            console.info(this.state.cachedCart);
            Toast.show({
            text: 'Item deleted from Cart',
            position: 'bottom',
            buttonText: 'Undo',
            duration: 2000,
            onClose: this.undoDelete.bind(this)
        });
    });

}

Проблема с вашим кодом заключалась в том, что this.state.Cart.splice (index, 1) возвращал удаленный элемент и это значение, которое вы устанавливали как состояние.

  delete(index){
    console.info("state", this.state);
    // Cloning the this.state.cart to updatedCart
    let updatedCart = this.state.cart.slice();
    // Removing the index element
    updatedCart.splice(index,1);
    
    this.setState({deletedIndex:index, cachedCart:this.state.cart, cart: updatedCart },
        ()=>{
          console.info("state", this.state);
    });

}