Скобка один из двух корней в алгоритме поиска корней для корней многомерной функции

Приносим извинения за (возможно, вводящий в заблуждение) заголовок и, возможно, сбивающий с толку вопрос, я очень борюсь с формулировкой моей проблемы и особенно с сжатием ее в одно предложение для заголовка. Я хочу найти корни функции f(w, t, some_other_args) с двумя переменными, w и t, используя python. Реальная структура функции действительно длинная и сложная, вы можете найти ее в конце этого поста. Важно то, что он содержит следующую строку:

k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))

Это означает, что w не может превышать 1, потому что это привело бы к вычислению квадратного корня из отрицательного числа, что, конечно, невозможно. У меня есть алгоритмы для расчета приблизительных значений w и t с использованием других значений в моей функции, но они очень неточны.

Итак, я пытаюсь вычислить корни с помощью scipy.optimize.fsolve (попробовав буквально все алгоритмы поиска корней, которые я мог найти в Интернете, я обнаружил, что этот лучший для моей функции), используя эти приблизительные значения в качестве отправных точек, которые будут выглядеть так:

solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))

Для большинства значений это работает отлично. Однако, если w слишком близко к 1, всегда наступает момент, когда fsolve пробует какое-то значение больше 1 для w, что, в свою очередь, вызывает ValueError (потому что вычисление корня отрицательного числа математически невозможно). Это пример вывода значений, которые использует fsolve, где w должен быть где-то около 0,997:

w_approx: 0.9960090844989311
t_approx: 24.26777844720981
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.267778808827888, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.996009099340623
Values: t:16.319554685876746, w:1.0096680915775516
      solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))
    File "C:\Users\...\venv\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py", line 148, in fsolve
      res = _root_hybr(func, x0, args, jac=fprime, **options)
    File "C:\Users\...\venv\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py", line 227, in _root_hybr
      ml, mu, epsfcn, factor, diag)
    File "C:\Users\...\algorithm.py", line 9, in f
      k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))
ValueError: math domain error

Итак, как я могу сказать optimize.fsolve, что w не может быть больше 1? Или каковы альтернативные алгоритмы для выполнения чего-то подобного (я знаю о brentq и так далее, но все они требуют указания интервала для корней оба, чего я не хочу делать)?

Код для тестирования (здесь важно отметить: хотя func теоретически должен рассчитывать R и T с учетом t и w, мне приходится использовать его наоборот. Это немного неуклюже, но мне просто не удается переписать функция, так что она принимает T, R для вычисления t, w - это многовато для моего посредственного математического опыта;)):

import math as m
from scipy import optimize
import numpy as np


def func(t, w, r_1, r_2, r_3):

    k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))

    k23 = 2 * k / 3

    z1 = 1 / (1 + k23)
    z2 = 1 / (1 - k23)
    z3 = 3 * ((1 / 5 + r_1 - r_2 - 1 / 5 * r_1 * r_2) / (z1 - r_2 * z2)) * m.exp(t * (k - 1))
    z4 = -(z2 - r_2 * z1) / (z1 - r_2 * z2) * m.exp(2 * k * t)
    z5 = -(z1 - r_2 * z2) / (z2 - r_2 * z1)
    z6 = 3 * (1 - r_2 / 5) / (z2 - r_2 * z1)

    beta_t = r_3 / (z2 / z1 * m.exp(2 * k * t) + z5) * (z6 - 3 / (5 * z1) * m.exp(t * (k - 1)))
    alpha_t = beta_t * z5 - r_3 * z6

    beta_r = (z3 - r_1 / 5 / z2 * m.exp(-2 * t) * 3 - 3 / z2) / (z1 / z2 + z4)
    alpha_r = -z1 / z2 * beta_r - 3 / z2 - 3 / 5 * r_1 / z2 * m.exp(-2 * t)

    It_1 = 1 / 4 * w / (1 - 8 / 5 * w) * (alpha_t * z2 * m.exp(-k * t) + beta_t * z1 * m.exp(k * t) + 3 * r_3 * m.exp(-t))

    Ir_1 = (1 / 4 * w / (1 - 8 / 5 * w)) * (z1 * alpha_r + z2 * beta_r + 3 / 5 + 3 * r_1 * m.exp(-2 * t))

    T = It_1 + m.exp(-t) * r_3
    R = Ir_1 + m.exp(-2 * t) * r_1

    return [T, R]


def calc_1(t, w, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t_begin = float(t[0])
    T_new, R_new = func(t_begin, w, r_1, r_2, r_3)
    a = abs(-1 + T_new/T)
    b = abs(-1 + R_new/R)
    return np.array([a, b])


def calc_2(x, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = x[0]
    w = x[1]
    T_new, R_new = func(t, w, r_1, r_2, r_3)
    a = abs(T - T_new)
    b = abs(R - R_new)
    return np.array([a, b])


def approximate_w(R):
    k = (1 - R) / (R + 2 / 3)
    w_approx = (1 - ((2 / 3 * k) ** 2)) / (1 - ((1 / 3 * k) ** 2))
    return w_approx


def approximate_t(w, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = optimize.root(calc_1, x0=np.array([10, 0]), args=(w, T, R, r_1, r_2, r_3))
    return t.x[0]


def solve(T, R, r_1, r_2, r_3):
    w_x = approximate_w(R)
    t_x = approximate_t(w_x, T, R, r_1, r_2, r_3)
    sol = optimize.fsolve(calc_2, x0=np.array([t_x, w_x]), args=(T, R, r_1, r_2, r_3))
    return sol


# Values for testing:
T = 0.09986490557943692
R = 0.8918728343037964
r_1 = 0
r_2 = 0
r_3 = 1

print(solve(T, R, r_1, r_2, r_3))