Собственное значение и собственные векторы в Python против Matlab
Я заметил, что существует разница между тем, как Matlab вычисляет собственное значение и собственный вектор матрицы, где Matlab возвращает действительное значение, а numpy возвращает комплексное значение собственного значения и вектора. Например:
для матрицы:
A=
1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
Numpy:
w, v = np.linalg.eig(A)
w
array([ 4. +0.00000000e+00j, -2. +1.10465796e-15j, -2. -1.10465796e-15j])
v
array([[-0.40824829+0.j , 0.24400118-0.40702229j,
0.24400118+0.40702229j],
[-0.40824829+0.j , -0.41621909-0.40702229j,
-0.41621909+0.40702229j],
[-0.81649658+0.j , -0.66022027+0.j , -0.66022027-0.j ]])
Matlab:
[E, D] = eig(A)
E
-0.4082 -0.8103 0.1933
-0.4082 -0.3185 -0.5904
-0.8165 0.4918 -0.7836
D
4.0000 0 0
0 -2.0000 0
0 0 -2.0000
Есть ли способ получить реальные собственные значения в Python, как в Matlab?
Ответы 1
Чтобы заставить NumPy возвращать диагональный массив реальных собственных значений, когда сложная часть мала, вы можете использовать
In [116]: np.real_if_close(np.diag(w))
Out[116]:
array([[ 4., 0., 0.],
[ 0., -2., 0.],
[ 0., 0., -2.]])
Согласно Документы Matlab,
[E, D] = eig(A) возвращает E и D, которые удовлетворяют A*E = E*D:
У меня нет Matlab, поэтому я буду использовать Octave, чтобы проверить опубликованный вами результат:
octave:1> A = [[1, -3, 3],
[3, -5, 3],
[6, -6, 4]]
octave:6> E = [[ -0.4082, -0.8103, 0.1933],
[ -0.4082, -0.3185, -0.5904],
[ -0.8165, 0.4918, -0.7836]]
octave:25> D = [[4.0000, 0, 0],
[0, -2.0000, 0],
[0, 0, -2.0000]]
octave:29> abs(A*E - E*D)
ans =
3.0000e-04 0.0000e+00 3.0000e-04
3.0000e-04 2.2204e-16 3.0000e-04
0.0000e+00 4.4409e-16 6.0000e-04
Величина ошибок в основном связана с тем, что значения, сообщаемые Matlab, являются отображается с меньшей точностью, чем фактические значения, которые Matlab хранит в памяти.
В NumPy w, v = np.linalg.eig(A) возвращает w и v, которые удовлетворяют
np.dot(A, v) = np.dot(v, np.diag(w)):
In [113]: w, v = np.linalg.eig(A)
In [135]: np.set_printoptions(formatter = {'complex_kind': '{:+15.5f}'.format})
In [136]: v
Out[136]:
array([[-0.40825+0.00000j, +0.24400-0.40702j, +0.24400+0.40702j],
[-0.40825+0.00000j, -0.41622-0.40702j, -0.41622+0.40702j],
[-0.81650+0.00000j, -0.66022+0.00000j, -0.66022-0.00000j]])
In [116]: np.real_if_close(np.diag(w))
Out[116]:
array([[ 4., 0., 0.],
[ 0., -2., 0.],
[ 0., 0., -2.]])
In [112]: np.abs((np.dot(A, v) - np.dot(v, np.diag(w))))
Out[112]:
array([[4.44089210e-16, 3.72380123e-16, 3.72380123e-16],
[2.22044605e-16, 4.00296604e-16, 4.00296604e-16],
[8.88178420e-16, 1.36245817e-15, 1.36245817e-15]])
In [162]: np.abs((np.dot(A, v) - np.dot(v, np.diag(w)))).max()
Out[162]: 1.3624581677742195e-15
In [109]: np.isclose(np.dot(A, v), np.dot(v, np.diag(w))).all()
Out[109]: True
format long перед отображением собственных значений и собственных векторов.
@EricKamau: пока abs(A*E - E*D) возвращает нулевую матрицу (в пределах допустимой погрешности), результат в Matlab в порядке. Поскольку разные алгоритмы могут возвращать разные собственные векторы (они определены только с точностью до мультипликативной константы, которая может быть комплексной), собственные векторы Matlab и NumPy могут отличаться, но оба верны. А поскольку два собственных вектора имеют одно и то же собственное значение, их линейные комбинации также являются собственными векторами.
Спасибо за ответ, в настоящее время я использую Matlab R2018a 9.4.0.813654, и он по-прежнему дает мне то же значение, что и выше, которое отличается от numpy, я думаю, это может быть проблема с версией? или октава немного отличается от матлаба?