Если вы хотите передать экземпляр своего класса DB (db), вам нужно будет передать экземпляр вашему классу Hello. Пытаться:

class DB:
    def __init__(self, dbname='mydb.db'):    
        try:
            self.connection = sqlite3.connect(dbname)
        except:
            print('Error')
        finally:
            pass

class Hello:
    def hi(self, db=DB()): # we make it have a default db of DB() (which in turn defaults to 'mydb.db')
        # db = DB() # Create db or connect to existing one
        # ^^ we remove this line because now this is the default
        cursor = db.connection.cursor()

db = DB('test.db') # this makes an instance of your DB class and calls it "db"
h = Hello(db) # now we need to feed this instance

Хотя это, вероятно, не лучший способ сделать это. Вы, вероятно, выиграете больше от наличия одного класса с методами, потому что ваш второй класс в основном бесполезен и в любом случае очень тесно связан с вашим первым классом:

class DB:
    def __init__(self, dbname='mydb.db'):    
        try:
            self.connection = sqlite3.connect(dbname)
        except:
            print('Error')
        finally:
            pass

    def hello(self): # making a method instead
        cursor = self.connection.cursor()

db = DB('test.db') # this makes an instance of your DB class and calls it "db"
db.hello() # call our method

РЕДАКТИРОВАТЬ

Изначально я пропустил кое-что, что обнаружил при тестировании своего кода. Ваш код должен работать нормально, но вам нужно вызвать метод, который вы создали! Попробуй это:

import sqlite3

class DB:
    def __init__(self, dbname='mydb.db'):
        try:
            self.connection = sqlite3.connect(dbname)
        except:
            print('Error')
        finally:
            pass

class Hello:
    def hi(self):
        db = DB('test.db')
        cursor = db.connection.cursor()

db = DB('test.db')
h = Hello() # make our instance
h.hi() # use the method "hi" associated with the class (our function name within the class)