Создать новый объект Integer, содержащий значение 1?

Метод 4, Integer p = Integer.valueOf(1); - рекомендуемый способ. В JavaDoc говорится:

Returns an Integer instance representing the specified int value. If a new Integer instance is not required, this method should generally be used in preference to the constructor Integer(int), as this method is likely to yield significantly better space and time performance by caching frequently requested values. This method will always cache values in the range -128 to 127, inclusive, and may cache other values outside of this range.

Вы пропустили предполагаемое решение:

Integer p = Integer.valueOf(1);

Этот шаблон известен как Шаблон заводского метода. Можно спросить, в чем преимущество этого метода. К счастью, реализация класса Integer с открытым исходным кодом, так что давайте посмотрим:

    public static Integer valueOf(int i) {
        if (i >= IntegerCache.low && i <= IntegerCache.high)
            return IntegerCache.cache[i + (-IntegerCache.low)];
        return new Integer(i);
    }

Похоже, там какой-то кеш с Integer-значением. Если кто-то запрашивает Integer со значением в пределах диапазона кэша, Java не создает новый объект, а возвращает ранее созданный. Это работает, потому что Integer неизменяемы. Можно даже контролировать верхний предел кеша с помощью системного свойства java.lang.Integer.IntegerCache.high=....

И почему два других метода создания Integer выдают предупреждение? Потому что они были объявлены устаревшими с Java 9.

Integer#Integer(int value):

Deprecated. It is rarely appropriate to use this constructor. The static factory valueOf(int) is generally a better choice, as it is likely to yield significantly better space and time performance. [...]

Integer#Integer(String s):

Deprecated. It is rarely appropriate to use this constructor. Use parseInt(String) to convert a string to a int primitive, or use valueOf(String) to convert a string to an Integer object. [...]

И для полноты картины вот часть для Integer.valueOf(int i):

Returns an Integer instance representing the specified int value. If a new Integer instance is not required, this method should generally be used in preference to the constructor Integer(int), as this method is likely to yield significantly better space and time performance by caching frequently requested values. This method will always cache values in the range -128 to 127, inclusive, and may cache other values outside of this range.

РЕДАКТИРОВАТЬ 1: Спасибо @VGR упомянув, что

Integer p = 1;

эквивалентен

Integer p = Integer.valueOf(1);

Это, однако, верно только для значений int между -128 и 127. Поведение определяется в JLS §5.1.7:

[...] If the value p being boxed is the result of evaluating a constant expression (§15.28) of type boolean, char, short, int, or long, and the result is true, false, a character in the range '\u0000' to '\u007f' inclusive, or an integer in the range -128 to 127 inclusive, then let a and b be the results of any two boxing conversions of p. It is always the case that a == b.

Обновлено еще раз: Спасибо @DorianGray, который обратил мое внимание на следующее.

Версия javac, которую я использую (9.0.4), не входит в JLS, но компилирует бокс до Integer.valueOf(...);, как показано в этот ответ Адама Розенфилда.