Typescript: я не могу получить данные из обещания Firebase

Это потому, что API Firebase асинхронны. Это означает, что вы не можете получить данные. Вам нужно будет использовать его внутри функции.

В качестве альтернативы вы можете использовать async / await из ECMAScript 2017. Объявите свою функцию как async и используйте await для получения снимка:

async function getData(){
    var userID = this.firAuth.auth.currentUser.uid;
    var name;
    console.info("userID: " + userID);
    this.name = "user";

    var snapshot = await this.firService.database.ref("/users").once('value');
    snapshot.forEach(snap => {
        if (snap.key == userID){
            this.name = snap.val().name;
        }
    });
}