UseState, чтобы скрыть / показать модальное окно в React Native

Причина того, что ваш AuthScreen не показывает второй раз во второй раз, заключается в том, что вы никогда не устанавливали для состояния needLogin значение false. Поэтому в следующий раз, когда вы попытаетесь установить для него значение true, это не вызовет повторной визуализации.

Лучший способ справиться с этим будет заключаться в том, чтобы не поддерживать отдельное состояние AuthScreen, а выводить его из реквизита, а также предоставлять способ обновления состояния в родительском

    const [needLogin, setNeedLogin] = useState(false);

    return (
    ...
            <TouchableOpacity onPress = {() => {
                setNeedLogin(true) //This is hardcoded I'll set this value later via an  API response but for now, I just want to show the screen every time it's pressed so hard coding it to true
            }}>
                <Text>Ask Your Question</Text>
            </TouchableOpacity >
            
            <AuthScreen open = {needLogin} closeModal = {() => setNeedLogin(false)}/>
       ...
    )

const { open, closeModal } = props;

return (
    <View style = {{ flex: 1, justifyContent: 'center', alignItems: 'center' }}>
        <Modal visible = {open} animationType = {'slide'} >
            <View style = {styles.modal}>
                <View style = {styles.modalContainer}>
                        <View style = {styles.header}>
                            <TouchableOpacity onPress = {() => { closeModal() }}>
                                <Image source = {require('../assets/close-icon.png')} />
                            </TouchableOpacity>
                        </View>
                        <LoginForm />
                </View>
            </View>
        </Modal >
    </View >
);